Αναμενόμενη

Συντονιστής: xr.tsif

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Αναμενόμενη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Δευ Νοέμ 16, 2015 2:33 pm

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x-ln(e^x+c), c>0. Αν γνωρίζουμε οτι οτι η γ.π. διέρχεται απο το σημείο \displaystyle{\left(ln3, ln\frac{3}{4} \right)}

1) να βρεθεί η σταθερά c

2) f'(x)+f'(-x)=1

3) δείξτε οτι η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα

4) \displaystyle{a-b<ln\frac{e^a+1}{e^b+1}\,\,\, a<b, a, b \in R}

5) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γ.π. που είναι παράλληλη στην ευθεία \displaystyle{2y=x+2016}


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3577
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Αναμενόμενη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Νοέμ 16, 2015 3:30 pm

erxmer έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x-ln(e^x+c), c>0. Αν γνωρίζουμε οτι οτι η γ.π. διέρχεται απο το σημείο \displaystyle{\left(ln3, ln\frac{3}{4} \right)}

1) να βρεθεί η σταθερά c

2) f'(x)+f'(-x)=1

3) δείξτε οτι η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα

4) \displaystyle{a-b<ln\frac{e^a+1}{e^b+1}\,\,\, a<b, a, b \in R}

5) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γ.π. που είναι παράλληλη στην ευθεία \displaystyle{2y=x+2016}
1) Έχουμε ότι:

\displaystyle{\begin{aligned} 
f\left ( \ln 3 \right )= \ln \frac{3}{4} =\ln 3 - 2\ln 2  &\Leftrightarrow \ln 3 - \ln \left ( 3+c \right ) =\ln 3- 2\ln 2 \\  
 &\Leftrightarrow  \ln (3+c)=2\ln 2\\  
 &\Leftrightarrow  3+c=4\\  
 &\Leftrightarrow c=1 
\end{aligned}}

2) Έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
f(x)-f(-x) &=x- \ln \left ( e^x+1 \right ) - \left ( -x - \ln \left ( e^{-x}+1 \right ) \right ) \\  
 &=2x - \ln \left ( e^x+1 \right ) + \ln \left ( e^{-x}+1 \right ) \\  
 &= 2x + \ln \left ( \frac{e^{-x}+1}{e^x+1} \right ) \\ 
 &=2x-x \\ 
 &=x 
\end{aligned}}

Συνεπώς παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη έχουμε το ζητούμενο.

3) Η σχέση γράφεται:

\displaystyle{a-b< \ln \left ( e^a+1 \right ) - \ln \left ( e^b+1 \right ) \Leftrightarrow  a- \ln \left ( e^a+1 \right )< b - \ln \left ( e^b +1 \right )\Leftrightarrow  f(a)< f(b)}

και αρκεί να αποδείξουμε ότι η f είναι γν. αύξουσα , το οποίο ισχύει διότι:

\displaystyle{f'(x)= 1- \frac{e^x}{e^x+1}= \frac{e^x+1-e^x}{e^x+1}= \frac{1}{e^x+1}>0 , \;\; \forall x \in \mathbb{R}}

και η ανισότητα απεδείχθη.

4) Ψάχνουμε την εφαπτομένη ευθεία στο σημείο A(x_0, f(x_0)). Όμως η εφαπτομένη είναι παράλληλη στη ευθεία y= \dfrac{x}{2}+1008. Συνεπώς f'(x_0)=1/2 \Leftrightarrow x_0=0. Οπότε f(0)=- \ln 2. Συνεπώς η εφαπτομένη ευθεία έχει εξίσωση:

\displaystyle{y - f(0)= xf'(0) \Leftrightarrow y = \frac{x}{2}+ \ln 2}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης