Σελίδα 1 από 1

Μια κατασκευή...

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Μάιος 15, 2016 2:05 pm
από M.S.Vovos
Άλλη μια κατασκευή!

Θεωρούμε την πραγματική σταθερά \lambda και τη συνάρτηση \displaystyle f(x)=e^{-\left ( \lambda ^{2}-2\lambda +2 \right )\cdot x}, για την οποία ισχύει \displaystyle f''(x)=2f(x)+f'(x), για κάθε x\in \mathbb{R}.

A. Να δείξετε ότι \lambda =1 και να εξετάσετε αν η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατα στο πεδίο ορισμού της.

Β. Να υπολογίσετε το \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{2x}}{xe^{2x}}.

Γ. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο M(\alpha ,f(\alpha )), με \alpha >-1, και τους άξονες συντεταγμένων δίνεται από τη σχέση \displaystyle E(\alpha )=\frac{f(\alpha )\left ( \alpha +1 \right )^{2}}{2}. Στη συνέχεια, να βρείτε την τιμή τoυ \alpha, ωστε το παραπάνω εμβαδό να γίνεται μέγιστο.

Δ. Να δείξετε ότι για κάθε x_{i}>-1, με i=1,2,...,\nu, ισχύει η σχέση \displaystyle \nu -x_{1}-x_{2}-...-x_{\nu }\leq \sum_{i=1}^{\nu }f\left ( x_{i} \right )\leq \frac{1}{x_{1}+1}+\frac{1}{x_{2}+1}+...+\frac{1}{x_{\nu }+1}.

Φιλικά,
Μάριος

Re: Μια κατασκευή...

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 25, 2016 11:48 am
από Πρωτοπαπάς Λευτέρης
M.S.Vovos έγραψε:
Άλλη μια κατασκευή!

Θεωρούμε την πραγματική σταθερά \lambda και τη συνάρτηση \displaystyle f(x)=e^{-\left ( \lambda ^{2}-2\lambda +2 \right )\cdot x}, για την οποία ισχύει \displaystyle f''(x)=2f(x)+f'(x), για κάθε x\in \mathbb{R}.

A. Να δείξετε ότι \lambda =1 και να εξετάσετε αν η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατα στο πεδίο ορισμού της.

Β. Να υπολογίσετε το \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{2x}}{xe^{2x}}.

Γ. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο M(\alpha ,f(\alpha )), με \alpha >-1, και τους άξονες συντεταγμένων δίνεται από τη σχέση \displaystyle E(\alpha )=\frac{f(\alpha )\left ( \alpha +1 \right )^{2}}{2}. Στη συνέχεια, να βρείτε την τιμή τoυ \alpha, ωστε το παραπάνω εμβαδό να γίνεται μέγιστο.

Δ. Να δείξετε ότι για κάθε x_{i}>-1, με i=1,2,...,\nu, ισχύει η σχέση \displaystyle \nu -x_{1}-x_{2}-...-x_{\nu }\leq \sum_{i=1}^{\nu }f\left ( x_{i} \right )\leq \frac{1}{x_{1}+1}+\frac{1}{x_{2}+1}+...+\frac{1}{x_{\nu} + 1}.

Φιλικά,
Μάριος
Α. H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} ως σύνθεση παραγωγίσιμων με \displaystyle{f'(x)=-( \lambda ^{2}-2\lambda +2)e^{-\left ( \lambda ^{2}-2\lambda +2 \right )\cdot x}}.
H συνάρτηση f' είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R} ως σύνθεση παραγωγίσιμων με \displaystyle{f''(x)=( \lambda ^{2}-2\lambda +2)^2e^{-\left ( \lambda ^{2}-2\lambda +2 \right )\cdot x}}.

Συνεπώς από τη σχέση \displaystyle{f''(x)=2f(x)+f'(x)} προκύπτει ότι:
\displaystyle{( \lambda ^{2}-2\lambda +2)^2=2-( \lambda ^{2}-2\lambda +2) \Leftrightarrow ( \lambda ^{2}-2\lambda +2)^2+( \lambda ^{2}-2\lambda +2) -2=0\Leftrightarrow }

\displaystyle{\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 
w^2+w-2=0\\  
w=\lambda ^{2}-2\lambda +2 
\end{matrix}}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 
w=1,w=-2\\  
w=\lambda ^{2}-2\lambda +2 
\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 
\lambda ^{2}-2\lambda +2=1\\  
or \\ 
\lambda ^{2}-2\lambda +2=-2\end{matrix} \Leftrightarrow \lambda =1}.

Για \displaystyle{\lambda=1} έχουμε \displaystyle{f(x)=e^{-x},x \in \mathbb{R}} και \displaystyle{f'(x)=-e^{-x},x \in \mathbb{R}}.

Συνεπώς \displaystyle{f'(x)<0,x \in \mathbb{R}}, οπότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο \mathbb{R}, άρα δεν παρουσιάζει ακρότατα.

Β. Για x κοντά στο 0 έχουμε:
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-e^{2x}}{xe^{2x}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-e^{2x}(1-e^{-x})}{xe^{2x}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-x}-1}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-x}-e^{-0}}{x-0}=f'(0)=-e^{0}=-1}.

Γ.Έχουμε ότι \displaystyle{f(a)=e^{-a},f'(a)=-e^{-a}},
οπότε η ζητούμενη εξίσωση εφαπτομένης είναι: \displaystyle{y-e^{-a}=-e^{-a}(x-a) \Leftrigharrow y=-e^{-a}x+ae^{-a}+e^{-a}}.
Για x=0 έχουμε y=ae^{-a}+e^{-a}=e^{-a}(a+1).
Για y=0 έχουμε x=a+1.

Επομένως για a>-1 έχουμε:
\displaystyle{E(a)=\frac{1}{2}|(a+1)e^{-a}||a+1|=\frac{(a+1)^2e^{-a}}{2}=\frac{(a+1)^2f(a)}{2}}.

Δ. Ισχύει \displaystyle{e^x \geq x +1, x \in \mathbb{R}} (αυτό χρειάζεται απόδειξη :mrgreen: ).
Τότε θέτοντας όπου x το -x βρίσκουμε e^{-x} \geq -x+1,x \in \mathbb{R}.
Επομένως:
\displaystyle{e^{-x_1} \geq -x_1+1,e^{-x_2} \geq -x_2+1, ..., e^{-x_\nu} \geq -x_{nu}+1}
και προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει:
\displaystyle{e^{-x_1}+e^{-x_2}+ ...+e^{-x_{\nu}}=\geq -x_1+1-x_2+1+ ... +-x_{nu}+1 \Leftrightarrow \nu-x_1-x_2-...-x_{\nu} \leq \sum_{i=1}^{\nu}f(x_i)}(I).

Επιπλέον για x>-1 ισχύει:
\displaystyle{e^x \geq x +1 \Leftrightarrow e^{-x} \leq \frac{1}{x+1}, x \in \mathbb{R}}.

Συνεπώς:
\displaystyle{e^{-{x_1}} \leq \frac{1}{x_1+1},e^{-{x_2}} \leq \frac{1}{x_2+1},..., e^{-{x_{\nu}}} \leq \frac{1}{x_{\nu}+1}},
και προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει:
\displaystyle{e^{-{x_1}} + e^{-{x_2}} + ... +e^{-{x_{\nu}}} \leq \frac{1}{x_1+1}+ \frac{1}{x_2+1}+...+ \frac{1}{x_{\nu}+1} \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{\nu}f(x_i) \leq \frac{1}{x_1+1}+ \frac{1}{x_2+1}+...+ \frac{1}{x_{\nu} + 1 }} (II).

Από τις (I),(II) προκύπτει το ζητούμενο.