ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010:Γ.Π- Γ ΛΥΚ.

Συντονιστής: xr.tsif

Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010:Γ.Π- Γ ΛΥΚ.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Κυρ Φεβ 28, 2010 9:51 am

Με σκοπό την καλύτερη προετοιμασία των μαθητών ενόψει των Πανελλήνιων εξετάσεων θα προσπαθήσω να μαζέψω κάποια θέματα (αριθμημένα) που παρουσιάζουν ενδιαφέρον, αρχικά από την Στατιστική (1 μέχρι 10), στην συνέχεια Πιθανότητες (11-20) και τέλος Συνδυαστικά θέματα που θα έχουν και τα τρία κεφάλαια (21-35)...

Αυτό είναι το αισιόδοξο σενάριο και ελπίζω να υπάρχει ανταπόκριση και ενδιαφέρον... Δεκτή κάθε ένσταση, αντίρρηση ή σημείωση για να πετύχουμε το βέλτιστο αποτέλεσμα.

Θα προσπαθήσω να συμπεριλάβω κάποιες αυτοσχέδιες ασκήσεις για να ξεφύγουμε από τα κλασικά τετριμμένα θέματα της Γενικής Παιδείας (που λογικά δεν θα λείψουν και από δω)...

Στο τέλος θα ετοιμάσω ένα φυλλάδιο με όλες τις ασκήσεις και λύσεις που προτάθηκαν και φυσικά όπου χρειάζεται θα υπάρχει η απαραίτητη θεωρία , μεθοδολογία για την καλύτερη κατανόηση της άσκησης.

Καλή αρχή, πάμε!


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010:Γ.Π- Γ ΛΥΚ.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Κυρ Φεβ 28, 2010 9:55 am

Θέμα 1ο
Δίνονται τα ομαδοποιημένα δεδομένα σε 5 ισοπλατείς κλάσεις μιας συνεχής μεταβλητής Χ. Βρείτε σε κάθε περίπτωση ξεχωριστά
α) Το πλάτος της κλάσης c
β) Τα άκρα των κλάσεων.
γ) Το εύρος των παρατηρήσεων.
Συνημμένα
SXHMATA-KLASEIS.png
SXHMATA-KLASEIS.png (11.36 KiB) Προβλήθηκε 3620 φορές


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010:Γ.Π- Γ ΛΥΚ.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Κυρ Φεβ 28, 2010 11:58 am

Για τον πρώτο πίνακα έχουμε ότι το εύρος της τρίτης κλάσης είναι 19-15=4, επειδή οι κλάσεις είναι ίσου πλάτους εύκολα συμπληρώνεται ο πίνακας.

Για τον δεύτερο πίνακα , αν συμβολίσουμε την δεύτερη κλάση [4,x) έχουμε
4+x = 9,6 επομένως x = 5,6. H κλάση αυτή έχει εύρος 5,6 – 4 = 1,6, οπότε συμπληρώνεται ο πίνακας.

Για τον τρίτο πίνακα έχουμε ότι το εύρος του δείγματος είναι 20-0 = 20 και ο αριθμός των κλάσεων είναι 5, άρα κάθε κλάση έχει πλάτος 20:5 = 4 και ο πίνακας συμπληρώνεται.

Για τον τέταρτο πίνακα αν ονομάσουμε α και β τα άκρα της δεύτερης κλάσης έχουμε ότι α + β = 18 (1) και η κλάση αυτή έχει πλάτος β – α, οπότε τα δεξιά άκρα των επομένων κλάσεων είναι:
β
β + β – α = 2β – α
2β – α + β – α = 3β – 2α
με βάση αυτά τα δεδομένα έχουμε 3β – 2α = 18 (2)
από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι α = 7,2 και β = 10,8 και ο πίνακας συμπληρώνεται.

Για το πέμπτο πίνακα αν ονομάσουμε α και β τα άκρα της πρώτης κλάσης , έχουμε ότι α + β = 6 (1) και η κλάση αυτή έχει πλάτος β – α , οπότε τα δεξιά άκρα των επομένων κλάσεων είναι:
β
β + β – α = 2β – α
2β – α + β – α = 3β – 2α
3β – 2α + β – α = 4β – 3α
με βάση αυτά τα δεδομένα έχουμε : 3β – 2α + 4β – 3α = 24 (2)
από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε α = 1,5 και β = 4,5 και ο πίνακας συμπληρώνεται.
Συνημμένα
SXHMATA-KLASEIS.png
SXHMATA-KLASEIS.png (28.78 KiB) Προβλήθηκε 3557 φορές


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010:Γ.Π- Γ ΛΥΚ.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Κυρ Φεβ 28, 2010 12:08 pm

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Για τον πρώτο πίνακα ------
Σπύρο καλημέρα,πως έγραψες πάνω στους πίνακες;


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010:Γ.Π- Γ ΛΥΚ.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Καρδαμίτσης Σπύρος » Κυρ Φεβ 28, 2010 12:36 pm

τα σώσεις στον υπολογιστή σου και με δεξί κλίκ τα ανοίγεις με το πρόγραμμα ζωγραφικής των windows


Καρδαμίτσης Σπύρος
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010:Γ.Π- Γ ΛΥΚ.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Κυρ Φεβ 28, 2010 8:35 pm

Επειδή έχω κάπου διαφοροποιημένες λύσεις με τον Σπύρο ανεβάζω και τις δικές μου λύσεις...
Συνημμένα
lyseis 1.png
lyseis 1.png (23.02 KiB) Προβλήθηκε 3444 φορές
luseis 2.png
luseis 2.png (19.26 KiB) Προβλήθηκε 3444 φορές


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010:Γ.Π- Γ ΛΥΚ.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Κυρ Φεβ 28, 2010 8:52 pm

Και η απαραίτητη θεωρία που πρέπει να γνωρίζουμε για την άσκηση 1...

Υ.Γ: Πως μειώνουμε το άσπρο πλαίσιο γύρω από την εικόνα που είναι πολύ μεγάλο?? Η διαδικασία που κάνω είναι αυτή που έχει περιγράψει ο Νίκος (ζωγραφική, IrfanView κτλ)
Συνημμένα
Methodologia 1.png
Methodologia 1.png (9.28 KiB) Προβλήθηκε 3430 φορές


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010:Γ.Π- Γ ΛΥΚ.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Κυρ Φεβ 28, 2010 9:26 pm

Θέμα 2ο
Συνημμένα
Askisi 2.png
Askisi 2.png (10.87 KiB) Προβλήθηκε 3411 φορές


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010:Γ.Π- Γ ΛΥΚ.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Δευ Μαρ 01, 2010 1:08 pm

Θέμα 3ο (Αντώνης Κυριακόπουλος)
Σε μια ομαδοποιημένη κατανομή συχνοτήτων με ισοπλατείς κλάσεις και ν=160, η μέση τιμή είναι \displaystyle{\overline x  = 11}. Ένας μαθητής πήρε κατά λάθος στην τρίτη κλάση 16 παρατηρήσεις περισσότερες και βρήκε ότι η μέση τιμή είναι \displaystyle{\overline {{x_\alpha }}  = 12}.
Να βρείτε το κοινό πλάτος των κλάσεων, αν η πρώτη τιμή των κλάσεων είναι 0.

Λύση
Έχουμε \displaystyle{ 
\overline x  = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {x_i v_i } }}{v} 
} και \displaystyle{ 
\overline x _\alpha   = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {x_i v_i }  + 16x_3 }}{v} 
} αν αφαιρέσουμε κατά μέλη βρίσκουμε: \displaystyle{x_3  = 10}

Οπότε η τρίτη κλάση είναι της μορφής: [2c, 3c) με κεντρική τιμή 10, οπότε:
2c+c/2 = 10 αν το λύσουμε βρίσκουμε: c = 4

Σημείωση: Δεν χρειάζονται να δίνονται και οι δύο μέσες τιμές αλλά πόσο διαφέρουν, δηλαδή ότι διαφέρουν κατά μια μονάδα...


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Α.Κυριακόπουλος
Δημοσιεύσεις: 988
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 04, 2009 9:49 am
Τοποθεσία: ΧΟΛΑΡΓΟΣ

Re: ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010:Γ.Π- Γ ΛΥΚ.

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Α.Κυριακόπουλος » Δευ Μαρ 01, 2010 10:28 pm

Σε μια ομαδοποιημένη κατανομή συχνοτήτων με ισοπλατείς κλάσεις και ν=160, η μέση τιμή είναι \displaystyle{\overline x  = 11}. Ένας μαθητής πήρε κατά λάθος στην τρίτη κλάση 16 παρατηρήσεις περισσότερες(το πλήθος όλων των παρατηρήσεων το πήρε 160) και βρήκε ότι η μέση τιμή είναι \displaystyle{\overline {{x_\alpha }}  = 12}. Να βρείτε το κοινό πλάτος των κλάσεων,αν το αριστερό όριο της πρώτης κλάσης είναι 0.
Λύση. Έστω κ το πλήθος των κλάσεων. Έστω ακόμα ότι τα κέντρα των κλάσεων είναι κατά σειρά: \displaystyle{{x_1},{x_2},...,{x_\kappa }}και ότι οι αντίστοιχες συχνότητες αυτών είναι:
\displaystyle{{\nu _1},{\nu _2},...,{\nu _\kappa }(\nu  = {\nu _1} + {\nu _2} + ... + {\nu _\kappa } = 160)}. Έχουμε:
\displaystyle{\overline x  = 11 \Leftrightarrow \frac{1}{{160}}\sum\limits_{i = 1}^\kappa  {{\nu _i}{x_i}}  = 11 \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^\kappa  {{\nu _i}{x_i}}  = 1760(1)}.
Ο μαθητής βρήκε το παραπάνω αποτέλεσμα με συχνότητες των κλάσεων κατά σειρά:
\displaystyle{{\nu _1},{\nu _2},{\nu _3} + 16,{\nu _4},...,{\nu _\kappa }}και με ν=160. Έχουμε λοιπόν:
\displaystyle{\overline {{x_\alpha }}  = 12 \Leftrightarrow \frac{{{\nu _1}{x_1} + {\nu _2}{x_2} + ({\nu _3} + 16){x_3} + {\nu _4}{x_4} + ... + {\nu _\kappa }{x_\kappa }}}{{160}} = 12 \Leftrightarrow }
\displaystyle{ \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 1}^\kappa  {{\nu _i}{x_i}}  + 16{x_3} = 12 \cdot 160\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} 1760 + 16{x_3} = 1920 \Leftrightarrow }
\displaystyle{ \Leftrightarrow 16{x_3} = 160 \Leftrightarrow {x_3} = 10.}
Έτσι, αν c είναι το κοινό πλάτος των κλάσεων, έχουμε:
\displaystyle{2c + \frac{c}{2} = {x_3} \Leftrightarrow \frac{{5c}}{2} = 10 \Leftrightarrow c = 4.}
Άρα το κοινό πλάτος των κλάσεων είναι c=4.
Σημείωση. Συνιστώ να δείτε και την παραπάνω, πιο σύντομη, λύση του Μάκη Χατζόπουλου.
τελευταία επεξεργασία από Α.Κυριακόπουλος σε Τετ Μαρ 03, 2010 12:01 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Αντώνης Κυριακόπουλος
•Ο έξυπνος παραδέχεται •Ο πονηρός δικαιολογείται •Ο βλάκας επιμένει
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010:Γ.Π- Γ ΛΥΚ.

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Τρί Μαρ 02, 2010 1:48 pm

Θέμα 4ο (Αντώνης Κυριακόπουλος)
Η Γ΄ τάξη ενός λυκείου έχει δύο τμήματα Α και Β. Το τμήμα Α έχει 18 μαθητές και το τμήμα Β έχει 22 μαθητές. Σε ένα κοινό διαγώνισμα, η τυπική απόκλιση της βαθμολογίας των μαθητών του τμήματος Α είναι \displaystyle{{S_\alpha } = 2,5} και του τμήματος Β είναι \displaystyle{{S_\beta } = 1,5} ,ενώ η μέση βαθμολογία των δύο τμημάτων είναι η ίδια.
1) Από τις βαθμολογίες των δύο τμημάτων, ποια έχει τη μεγαλύτερη ομοιογένεια;
2) Να βρείτε την τυπική απόκλιση της βαθμολογίας όλων των μαθητών της τάξης αυτής.

Λύση (Χρήστος Τσιφάκης)
α) Αφού έχουν την ίδια μέση τιμή μεγαλύτερη ομοιογένεια θα έχει η μεταβλητή με το μικρότερο CV

CV_{A}=\frac{S_{A}}{\bar{x}} = \frac{2,5}{\bar{x}} και CV_{B}=\frac{S_{B}}{\bar{x}} = \frac{1,5}{\bar{x}}

Άρα CV_{A}>CV_{B} άρα μεγαλύτερη ομοιογένεια έχει η μεταβλητή Β

β) Η διασπορά είναι

S^2=\frac{\sum_{1}^{40}{(x_{i}-\bar{x})^2}}{40}=\frac{\sum_{1}^{18}{(x_{i}-\bar{x})^2}+\sum_{19}^{40}{(x_{i}-\bar{x})^2}}{40}=\frac{18\cdot S_{A}^2+22\cdot S_{B}^2}{40}= \frac{162}{40} = 4,05

Άρα S = \sqrt{4,05} = 2.01


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010:Γ.Π- Γ ΛΥΚ.

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Τρί Μαρ 02, 2010 1:56 pm

Το θέμα 2 υπενθυμίζω ότι δεν έχει απαντηθεί! Y.Γ: Μια διόρθωση α) Να βρείτε την σχετική συχνότητα 1 και 5


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010:Γ.Π- Γ ΛΥΚ.

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Τετ Μαρ 03, 2010 10:04 am

Θέμα 5ο (Αντώνης Κυριακόπουλος)
viewtopic.php?f=18&p=33168#p33168


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010:Γ.Π- Γ ΛΥΚ.

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Τετ Μαρ 03, 2010 10:29 pm

Θέμα 6ο
Θεωρούμε \displaystyle{ 
\alpha _1  
} το πλήθος αριθμών που έχουν διακύμανση \displaystyle{ 
s_1^2  
} και μέση τιμή \displaystyle{ 
\overline x  
}. Όμοια θεωρούμε \displaystyle{ 
\alpha _2  
} το πλήθος αριθμών που έχουν διακύμανση \displaystyle{ 
s_2^2  
} και την ίδια μέση τιμή \displaystyle{ 
\overline x  
}.
Να δειχθεί ότι:

α. Η μέση τιμή των \displaystyle{ 
\alpha _1  + \alpha _2  
} αριθμών είναι \displaystyle{ 
\overline x  
}

β. Η διακύμανση \displaystyle{ 
s^2  
} των \displaystyle{ 
\alpha _1  + \alpha _2  
} είναι: \displaystyle{ 
s^2  = \frac{{\alpha _1 s_1^2  + \alpha _2 s_2^2 }}{{\alpha _1  + \alpha _2 }} 
}


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010:Γ.Π- Γ ΛΥΚ.

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Τετ Μαρ 03, 2010 10:42 pm

Θέμα 7ο (Βασικές προτάσεις)
Έστω οι παρατηρήσεις \displaystyle{t_1  , t_2  , ... , t_v } μιας μεταβλητής Χ με μέση τιμή \displaystyle{{\overline x }} τότε να αποδείξετε τα εξής:

α. \displaystyle{ 
\sum\limits_{i = 1}^v {\left( {t_i  - \overline x } \right)}  = 0 
} (Θέμα θεωρίας βιβλίου)

β. \displaystyle{ 
t_{min}\le \overline x  \le t_{max}  
}

γ. \displaystyle{ 
\overline x  \le \sqrt {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^v {t_i^2 } }}{v}}  
}

δ. \displaystyle{ 
s^2  = \overline {\left( {x^2 } \right)}  - \left( {\overline x } \right)^2  
}

ε. \displaystyle{ 
s^2  = \overline x  \Leftrightarrow v \cdot \overline x  \cdot \left( {\overline x  + 1} \right) = \sum\limits_{i = 1}^v {t_i }  
}

Υ.Γ: Πρόσθεσα το (ε) ερώτημα
τελευταία επεξεργασία από Μάκης Χατζόπουλος σε Τετ Μαρ 03, 2010 11:15 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1968
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010:Γ.Π- Γ ΛΥΚ.

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τετ Μαρ 03, 2010 11:09 pm

Μάκη καλησπέρα
μία γρήγορη για το γ)
Δεν κάνω απόδειξη του τύπου(προφανής)
Ξέρουμε ότι S^2 = \frac{\sum_{1}^{v}{x_{i}^2}}{v} - \bar{x}^2 άρα S^2 +\bar{x}^2 = \frac{\sum_{1}^{v}{x_{i}^2}}{v}
\bar{x}^2\leq  \frac{\sum_{1}^{v}{x_{i}^2}}{v}
οπότε \left|\bar{x} \right|\leq  \sqrt{\frac{\sum_{1}^{v}{x_{i}^2}}{v}}

Χρήστος

Από τον ίδιο τύπο βγαίνει και το δ) γιατί το κλάσμα είναι η μέση τιμή των τετραγώνων


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
Μάκης Χατζόπουλος
Δημοσιεύσεις: 2456
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 4:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010:Γ.Π- Γ ΛΥΚ.

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάκης Χατζόπουλος » Τετ Μαρ 03, 2010 11:19 pm

xr.tsif έγραψε:Μάκη καλησπέρα
μία γρήγορη για το γ)
Δεν κάνω απόδειξη του τύπου(προφανής)
Ξέρουμε ότι S^2 = \frac{\sum_{1}^{v}{x_{i}^2}}{v} - \bar{x}^2 άρα S^2 +\bar{x}^2 = \frac{\sum_{1}^{v}{x_{i}^2}}{v}
\bar{x}^2\leq  \frac{\sum_{1}^{v}{x_{i}^2}}{v}
οπότε \left|\bar{x} \right|\leq  \sqrt{\frac{\sum_{1}^{v}{x_{i}^2}}{v}}

Χρήστος

Από τον ίδιο τύπο βγαίνει και το δ) γιατί το κλάσμα είναι η μέση τιμή των τετραγώνων
Χρήστο σε ευχαριστώ για την ανταπόκριση, τελικά μόνο εσύ ο Αντώνης, ενδιαφερόμαστε για την ξεχασμένη Στατιστική που προς στιγμήν δεν θα την αφήσω!!

Έχω μερικά σχόλια, αρχικά ολοκληρώνω την απόδειξή σου,

\displaystyle{ 
\overline x  \le \left| {\overline x } \right| \le \sqrt {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^v {t_i^2 } }}{v}}  
}

όσο για το προφανές τύπο που δίνεις στην ουσία θέλει απόδειξη (δεν είναι τπτ σπουδαίο) μιας και δεν υπάρχει στο βιβλίο, οπότε πρέπει να συνηθίζουμε να την κάνουμε όποτε την βρίσκουμε στην πορεία μας!

Γράφω την απόδειξη του Χρήστου που θεωρείται γνωστή και προφανείς για να την έχουμε από 'δω και πέρα έτοιμη:
\displaystyle{ 
s^2  = \frac{1}{v} \cdot \left( {\sum\limits_{i = 1}^v {t_i^2 }  - \frac{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^v {t_i } } \right)^2 }}{v}} \right) = \frac{1}{v} \cdot \left( {\sum\limits_{i = 1}^v {t_i^2 }  - \frac{{v^2  \cdot \overline x ^2 }}{v}} \right) = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^v {t_i^2 } }}{v} - \overline x ^2  
}


(1) verba volant, scripta manent = τα λόγια πετούν, τα γραπτά μένουν
Εικόνα
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010:Γ.Π- Γ ΛΥΚ.

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Τετ Μαρ 03, 2010 11:32 pm

δίνω την απόδειξη του τύπου που χρησιμοποίησε ο Χρήστος

\displaystyle{S^2=\frac{1}{n}\Big(\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^2-\frac{(\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i)^2}{n}\Big)=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^2-\frac{(\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i)^2}{n^2}=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^2-\Big(\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i}{n}\Big)^2=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^2-\bar x^2}

Μάκη,δώσε λίγο χρόνο...

τα θέματα που τρέχουν είναι πολλά ...


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010:Γ.Π- Γ ΛΥΚ.

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Πέμ Μαρ 04, 2010 9:48 am

Θέμα 6ο
Θεωρούμε \displaystyle{ 
\alpha _1  
} το πλήθος αριθμών που έχουν διακύμανση \displaystyle{ 
s_1^2  
} και μέση τιμή \displaystyle{ 
\overline x  
}. Όμοια θεωρούμε \displaystyle{ 
\alpha _2  
} το πλήθος αριθμών που έχουν διακύμανση \displaystyle{ 
s_2^2  
} και την ίδια μέση τιμή \displaystyle{ 
\overline x  
}.
Να δειχθεί ότι:

α. Η μέση τιμή των \displaystyle{ 
\alpha _1  + \alpha _2  
} αριθμών είναι \displaystyle{ 
\overline x  
}

β. Η διακύμανση \displaystyle{ 
s^2  
} των \displaystyle{ 
\alpha _1  + \alpha _2  
} είναι: \displaystyle{ 
s^2  = \frac{{\alpha _1 s_1^2  + \alpha _2 s_2^2 }}{{\alpha _1  + \alpha _2 }} 
}

ΑΠ:

θα γράφω x_i τους αριθμούς με μέση τιμή \bar x και τυπική απόκλιση S_1 και y_i τους αριθμούς με μέση τιμή \bar x και τυπική απόκλιση S_2

\bar x=\frac{1}{a_1}\sum x_i\longrightarrow \sum x_i=a_1 .\bar x

\bar x=\frac{1}{a_2}\sum y_i\longrightarrow \sum x_i=a_2 .\bar x

έστω \displaystyle{\bar z η μέση τιμή που ζητάμε,τότε \displaystyle{\bar z=\frac{1}{a_1+a_2}\sum(x_i+y_i)= \frac{1}{a_1+a_2}\big(\sum x_i+\sum y_i\big)=\frac{a_1 \bar x+a_2 \bar x}{a_1+a_2}=\bar x}{

\displaystyle{S^2=\frac{1}{a_1+a_2}\displaystyle \sum_{i=1}^{a_1+a_2}(t_i-\bar x)^2}=\frac{1}{a_1+a_2}\Big(\displaystyle\sum_{i=1}^{a_1}(x_i-\bar x)^2+\displaystyle \sum_{i=1}^{a_2}(y_i-\bar x)^2\Big)\Longrightarrow

S^2=\frac{1}{a_1+a_2}\Big(a_1 S_1^2+a_2S_2^2\Big)


Φωτεινή Καλδή
konkyr
Δημοσιεύσεις: 312
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 29, 2009 5:31 pm

Re: ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2010:Γ.Π- Γ ΛΥΚ.

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από konkyr » Σάβ Μαρ 13, 2010 11:39 am

Θέμα 8

Αν x_{1},x_{2},......,x_{\nu } οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής χ :

α)Να δείξετε ότι \sum_{i=1}^{\nu }{\left(x_{i}-\alpha  \right)^{2}}=\sum_{i=1}^{\nu }{\left(x_{i}-\bar{x})^{2}}+\nu \left(\bar{x} -\alpha \right)^{2} , όπου α \epsilon R σταθερός.

β)Να βρεθεί το α ώστε το \sum_{i=1}^{\nu }{\left(x_{i} -\alpha \right)}^{2} να γίνει ελάχιστο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης