Ανίσωση με τον e

Συντονιστής: xr.tsif

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 219
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm

Ανίσωση με τον e

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Σάβ Αύγ 18, 2018 11:06 am

ο e είναι ο 2,7... ,k\in \mathbb{N}^{*} και k>1 να αποδείξετε

e^{k+1}+e^{k}>\sum_{i=1}^{k-1}(e^{i}+2i^{2})

ισχύ και το e^{k+1}+e^{k}>\sum_{i=1}^{k}(e^{i}+4i^{2}) ;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15510
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανίσωση με τον e

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Αύγ 18, 2018 11:44 am

Xriiiiistos έγραψε:
Σάβ Αύγ 18, 2018 11:06 am
ο e είναι ο 2,7... ,k\in \mathbb{N}^{*} και k>1 να αποδείξετε

e^{k+1}+e^{k}>\sum_{i=1}^{k-1}(e^{i}+2i^{2})

ισχύ και το e^{k+1}+e^{k}>\sum_{i=1}^{k}(e^{i}+4i^{2}) ;
Χρήστο προσοχή:

1) Το ρήμα είναι "ισχύω", οπότε λέμε "ισχύω - ισχύεις - ισχύει". Το ίδιο σχόλιο για την λέξη "ισχύ" εδώ και εδώ

2) Για k=2 το αριστερό μέλος της τελευταίας είναι e^{3}+e^{2}\approx 27,4 ενώ e+e^2+4 +16 \approx 30,1 , που είναι μεγαλύτερο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15510
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανίσωση με τον e

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Αύγ 18, 2018 3:23 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Σάβ Αύγ 18, 2018 11:06 am
ο e είναι ο 2,7... ,k\in \mathbb{N}^{*} και k>1 να αποδείξετε

e^{k+1}+e^{k}>\sum_{i=1}^{k-1}(e^{i}+2i^{2})
Ισοδύναμα \displaystyle{e^{k+1}+e^{k} - \frac {e^k-e}{e-1}>2\sum_{i=1}^{k-1}i^{2}} , δηλαδή \displaystyle{e^{k}\cdot \frac {e^2-2}{e-1}+ \frac {e}{e-1}>2\sum_{i=1}^{k-1}i^{2}}.

Θα δείξουμε την ισχυρότερη \displaystyle{e^{k}\cdot \frac {e^2-2}{e-1}+ \frac {e}{e-1}> \frac {51}{20} \sum_{i=1}^{k-1}i^{2}= \frac {17}{20}k^3-\frac {51}{40}k^2+\frac {51}{120}k}


Είναι \displaystyle{  \frac {e^2-2}{e-1} \approx 3,1} , πάντως >3, και \displaystyle{ \frac {e}{e-1}>0}.

Επίσης για k\ge 2 είναι \displaystyle{e^k > 1+k+ \frac {k^2}{2}+ \frac {k^3}{3!}  + \frac {k^4}{4!}+ \frac {k^5}{5!}  > 1+k+ \frac {k^2}{2}+ \frac {k^3}{3!}  + \frac {2k^3}{4!}+ \frac {4k^3}{5!}  = 1+k+ \frac {k^2}{2}+ \frac {17k^3}{60}.}

Άρα

\displaystyle{e^{k}\cdot \frac {e^2-2}{e-1}+\frac {e}{e-1}  > 3e^{k} + 0 > 3\left (1+k+ \frac {k^2}{2}+ \frac {17k^3}{60}  \right ) =  \frac {17k^3}{20}  + \frac {3k^2}{2} + 3k + 3}.

To τελευταίο είναι με περίσσευμα \displaystyle{  >    \frac {17}{20}k^3-\frac {51}{40}k^2+\frac {51}{120}k} (συγκρίνοντας όρο προς όρο) , όπως θέλαμε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης