Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων
Να επιλυθεί στους πραγματικούς το σύστημα
(Δεν ξέρω την προέλευσή της. Εμένα μου την έστειλε κάποιος από Ρουμανία, ζητώντας λύση. Έκανα μία πολλή σύντομη.)
(Δεν ξέρω την προέλευσή της. Εμένα μου την έστειλε κάποιος από Ρουμανία, ζητώντας λύση. Έκανα μία πολλή σύντομη.)
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 789
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων
Κύριε Μιχάλη καλησπέρα και καλή χρονιά! Έχει πέσει αν θυμάμαι καλά σε κάποιο διαγωνισμό. Είμαι σίγουρος ότι την έχω λύσει με τα παιδιά αλλά δεν θυμάμαι την προελευση της. Αύριο θα προσπαθήσω να την βρω
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων
Ας δούμε μια λύση.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 06, 2019 2:15 pmΝα επιλυθεί στους πραγματικούς το σύστημα
(Δεν ξέρω την προέλευσή της. Εμένα μου την έστειλε κάποιος από Ρουμανία, ζητώντας λύση. Έκανα μία πολλή σύντομη.)
Θέτοντας
με
τότε έχουμε
και
Αν θέσουμε
εχουμε ότι
και
Επειδή
εχουμε ισότητα στην τριγωνική.
Προκύπτει ότι
οπότε
και αντικαθιστώντας βρίσκουμε
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων
Κάπου στην αρχική σελίδα είναι γραμμένο το εξής:Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 06, 2019 2:28 pmΚύριε Μιχάλη καλησπέρα και καλή χρονιά! Έχει πέσει αν θυμάμαι καλά σε κάποιο διαγωνισμό. Είμαι σίγουρος ότι την έχω λύσει με τα παιδιά αλλά δεν θυμάμαι την προελευση της. Αύριο θα προσπαθήσω να την βρω
2. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι κατά τα δυνατόν πλήρεις να αποφεύγονται οι υποδείξεις και η παράθεση μόνο του αποτελέσματος. Απαντήσεις που έχουν ελλιπή στοιχεία, δίνουν το αποτέλεσμα, περιλαμβάνουν σχόλια για την άσκηση, ενημερωτικές πληροφορίες κτλ χωρίς να παραθέτουν ή να παραπέμπουν στην λύση δημιουργούν σύγχυση και ενδεχομένως αποτρέπουν άλλα μέλη να προσπαθήσουν μία λύση ή να παρουσιάσουν μία λύση που ήδη έχουν ετοιμάσει. Για τους λόγους αυτούς οι τυχόν σχολιασμοί των ασκήσεων καλόν είναι να μπαίνουν αφού δοθεί λύση.
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων
Μια ακόμα λύση:
Λήμμα:
Για πραγματικούς για τους οποίους έχουν νόημα τα παρακάτω, ισχύει
Πράγματι, μετα από τις υψώσεις στο τετράγωνο, καταλήγουμε στην
Η ισότητα ισχύει αν-ν τα ζεύγη είναι ανάλογα.
Μάλιστα, είναι φανερό επαγωγικά ότι η παραπάνω ανισότητα επεκτείνεται:
Πάλι, η ισότητα ισχύει μόνο αν τα ζεύγη είναι ανάλογα.
Πάμε στο σύστημα:
Είναι
Άρα ισχύει ως ισότητα, οπότε έχουμε την αναλογία
η οποία, από την δίνει
Λήμμα:
Για πραγματικούς για τους οποίους έχουν νόημα τα παρακάτω, ισχύει
Πράγματι, μετα από τις υψώσεις στο τετράγωνο, καταλήγουμε στην
Η ισότητα ισχύει αν-ν τα ζεύγη είναι ανάλογα.
Μάλιστα, είναι φανερό επαγωγικά ότι η παραπάνω ανισότητα επεκτείνεται:
Πάλι, η ισότητα ισχύει μόνο αν τα ζεύγη είναι ανάλογα.
Πάμε στο σύστημα:
Είναι
Άρα ισχύει ως ισότητα, οπότε έχουμε την αναλογία
η οποία, από την δίνει
Μάγκος Θάνος
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων
Η δική μου λύση. Κατά βάθος είναι, κρυφά, ουσιαστικά η ίδια με τις τρεις προηγούμενες.
Γράφουμε την συνθήκη ως ισότητα διανυσμάτων:
.
Τα διανύσματα αριστερά έχουν μήκος , αντίστοιχα, και το δεξί . Παρατηρούμε ότι , δηλαδή τα διανύσματα αριστερά έχουν συνολικό μήκος όσο το δεξί, που σημαίνει ότι έχουμε περίπτωση ισότητας στην τριγωνική ανισότητα. Έπεται ότι τα διανύσματα είναι συνευθειακά. Τα υπόλοιπα απλά (άλλωστε υπάρχουν και στις τρεις παραπάνω λύσεις).
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Σύστημα δύο εξισώσεων και τεσσάρων αγνώστων
Ας δούμε και αυτή τη διαπραγμάτευση:
Από B-C-S (και μετά από τους προφανείς περιορισμούς λόγω υπόρριζων) έχουμε,
Έτσι έχουμε την ισότητα, άρα παίρνουμε την αναλογία:
Από B-C-S (και μετά από τους προφανείς περιορισμούς λόγω υπόρριζων) έχουμε,
Έτσι έχουμε την ισότητα, άρα παίρνουμε την αναλογία:
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες