Αρμονική Ανισότητα!

#1

Ας είναι $\displaystyle{\mathcal{H}_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n},~~n=1,2,...}$

Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\mathcal{H}_k ^2}<2.}$

harrisp · #2

matha έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 15, 2018 11:19 pm
Ας είναι $\displaystyle{\mathcal{H}_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n},~~n=1,2,...}$

Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\mathcal{H}_k ^2}<2.}$

Έστω $\mathcal {S}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\mathcal{H}_k ^2}.}$
Είναι $\mathcal{H}_i>\mathcal{H}_{i-1}\Leftrightarrow \dfrac {1}{\mathcal{H}_i}<\dfrac {1}{\mathcal{H}_{i-1}}\Leftrightarrow \dfrac {1}{\mathcal{H}^2_i}<\dfrac {1}{\mathcal{H}_{i-1}\mathcal{H}_i}\Leftrightarrow \dfrac {1}{i\mathcal{H}^2_i}<\dfrac {1}{i\mathcal{H}_{i-1}\mathcal{H}_i}.$
Όμως $\dfrac {1}{i}=\mathcal{H}_i-\mathcal{H}_{i-1}.$
Άρα $\dfrac {1}{i\mathcal{H}_{i-1}\mathcal{H}_i}=\dfrac {\mathcal{H}_i-\mathcal{H}_{i-1}}{\mathcal{H}_{i-1}\mathcal{H}_i}=\dfrac{1}{\mathcal{H}_{i-1}}-\dfrac{1}{\mathcal{H}_i}$ .

Συνεπώς $\mathcal {S}<1+(1-\dfrac {1}{\mathcal {H}_n})< 2.$

Αρμονική Ανισότητα!

Αρμονική Ανισότητα!

Re: Αρμονική Ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση