Συναρτησιακή εξίσωση - Ιταλία GTST

#1

Να βρεθούν όλες οι τριάδες πραγματικών αριθμών (a, b, c)

για τις οποίες υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},$ όχι ταυτοτικά μηδέν, τέτοια ώστε af(yz + f(x)) + bf(zx + f(y)) + cf(xy + f(z)) = 0,

για κάθε $x,y,z\in\mathbb{R}$ .

(Ιταλία - G(irls)TST)

dement · #2

Παρατηρούμε ότι για a + b + c = 0

μπορούμε να θεωρήσουμε την οποιαδήποτε σταθερή μη μηδενική

.

Έστω $a + b + c \neq 0$ με $a \neq 0$ . Θέτουμε y = z = 0

και έχουμε a f[f(x)] + (b+c) f[f(0)] = 0

, οπότε η $f \circ f$ είναι σταθερή με $\displaystyle f[f(x)] = - \frac{b+c}{a} f[f(0)]$ . Θέτουμε x = 0

και έχουμε f[f(x)] = f[f(0)] = 0

.

Θέτουμε στην αρχική ισότητα x = 0

και έχουμε f[yz + f(0)] = 0

για κάθε $y, z \in \mathbb{R}$ , οπότε η

είναι η μηδενική.

Άρα οι ζητούμενες τριάδες είναι αυτές που ικανοποιούν τη συνθήκη a + b + c = 0

.

Συναρτησιακή εξίσωση - Ιταλία GTST

Συναρτησιακή εξίσωση - Ιταλία GTST

Re: Συναρτησιακή εξίσωση - Ιταλία GTST

Μέλη σε σύνδεση