Συνρτησιακή στους θετικούς φυσικούς

#1

Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f : \mathbb N^*\rightarrow \mathbb N^*$ με την ιδιότητα: Όποτε οι $m,n, \frac {mn}{m+n}$ είναι και οι τρεις θετικοί φυσικοί, τότε ισχύει

$\displaystyle{ \frac {f(m)f(n)}{f(m)+f(n)}= f \left (\frac {mn}{m+n}\right ) }$

#2

Έστω $r \in \mathbb{N}^{\ast}$ . Τότε εύκολα ελέγχουμε ότι η f(n) = rn

για $n \in \mathbb{N}^{\ast}$ είναι λύση. Θα δείξω ότι δεν υπάρχουν άλλες.

Αρκεί να δείξω ότι για κάθε $a,b \in \mathbb{N}$ ισχύει ότι f(ab) = af(b)

. Ασφαλώς αν το δείξω αυτό τότε τελείωσα αφού αν θέσω r = f(1)

τότε $f(n) = f(n \cdot 1) = nf(1) = rn$ για κάθε $n \in \mathbb{N}^{\ast}$ .

Θα δείξω το πιο πάνω με επαγωγή στο

. Ασφαλώς ισχύει για a=1

. Έστω λοιπόν ότι ισχύει για a=k

.

Θέτω

. Τότε από την επαγωγική υπόθεση είναι f(n) = kf(m)

. Επίσης $\displaystyle{ \frac{mn}{m+n} = \frac{k(k+1)^2b^2}{(k+1)^2b} = kb.}$

Άρα παίρνουμε

$\displaystyle{ kf(b) = f(kb) = \frac{f(m)f(n)}{f(m) + f(n)} = \frac{kf(m)^2}{(k+1)f(m)} = \frac{kf(m)}{k+1}.}$

Δηλαδή

$\displaystyle{ f((k+1)b) = f(m) = (k+1)f(b)}$

όπως θέλαμε να δείξουμε.

Άρα η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Συνρτησιακή στους θετικούς φυσικούς

Συνρτησιακή στους θετικούς φυσικούς

Re: Συνρτησιακή στους θετικούς φυσικούς

Μέλη σε σύνδεση