Συναρτησιακή στους φυσικούς

#1

Να βρεθεί η συνάρτηση $f: \mathabb{N}^{\star} \to \mathabb{N}^{\star}$ για την οποία ισχύει f(n)>f(f(n-1))

για κάθε $n\in\mathabb{N}$ με $n\geq 2$ .

EDIT: Έκανα μία μικρή διόρθωση στο σύνολο ορισμού της συναρτησιακής για να έχει νόημα.

Αλέξανδρος

dement · #2

Βασιζόμαστε στο γεγονός ότι κάθε υποσύνολο των φυσικών έχει ελάχιστο στοιχείο και κάνουμε επαγωγή.

1. Από τη δεδομένη σχέση παίρνουμε $\displaystyle \min_{n \in \mathbb{N}^*} f(n) = f(1)$ και $f(n) > f(1) \ \forall n > 1$ .
Επίσης, αφού $\displaystyle f(n) \neq 1 \implies f(f(n)) > f(f(f(n)-1))$ , βλέπουμε ότι το f(f(n))

ελαχιστοποιείται για f(n) = 1

. Άρα $1 \in f(\mathbb{N}^*)$ και f(1) = 1

.

2. Έστω f(n) = n

για $n \leqslant k$ και f(n) > k

για

.

3. Θέτοντας $g(n) \equiv f(n+k) - k$ $(n \in \mathbb{N}^*)$ , βλέπουμε ότι $g (\mathbb{N}^*) \subseteq \mathbb{N}^*$ και, για n > 1

,

και η

πληροί τις συνθήκες της εκφώνησης. Άρα η

έχει μοναδικό ελάχιστο στο

και

, οπότε

και

για

που ολοκληρώνει την επαγωγή.

Οπότε η

είναι ταυτοτική.

#3

Πρόκειται για πρόβλημα 6 της ΙΜΟ του 1977. Μία παρόμοια λύση με του Δημήτρη υπάρχει στο βιβλίο Μαθηματικοί Διαγωνισμοί ΙΙ. Είναι η άσκηση 1.1

Συναρτησιακή στους φυσικούς

Συναρτησιακή στους φυσικούς

Re: Συναρτησιακή στους φυσικούς

Re: Συναρτησιακή στους φυσικούς

Μέλη σε σύνδεση