Ολυμπιάδα Λένινγκτραντ 1991

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

qwerty
Δημοσιεύσεις: 186
Εγγραφή: Δευ Αύγ 17, 2009 11:05 pm

Ολυμπιάδα Λένινγκτραντ 1991

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από qwerty » Τρί Μάιος 30, 2017 12:06 am

Έστω f συνεχής και αύξουσα με f(0)=0 και f(1)=1. Να αποδείξετε οτι:

f\left ( \frac{1}{10} \right )+f\left ( \frac{2}{10} \right )+...+f\left ( \frac{9}{10} \right )+f^{-1}\left ( \frac{1}{10} \right ) + 
f^{-1}\left ( \frac{2}{10} \right )+...+f^{-1}\left ( \frac{9}{10} \right )\leq \frac{99}{10}



Λέξεις Κλειδιά:
qwerty
Δημοσιεύσεις: 186
Εγγραφή: Δευ Αύγ 17, 2009 11:05 pm

Re: Ολυμπιάδα Λένινγκτραντ 1991

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από qwerty » Τρί Μάιος 30, 2017 7:43 pm

Τόσο δύσκολη ήταν τελικά;
Αν έχει κάποιος έστω και κάποια παραπομπή στο ιντερνετ οπου να υπάρχει η λύση, ας τη στείλει


Τροβαδούρος
Δημοσιεύσεις: 40
Εγγραφή: Κυρ Απρ 16, 2017 4:10 pm

Re: Ολυμπιάδα Λένινγκτραντ 1991

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τροβαδούρος » Τρί Μάιος 30, 2017 8:30 pm

https://artofproblemsolving.com/communi ... 95p3153992

Από τις λύσεις που είδα δε φαίνεται να είναι για αυτό το φάκελο.


manousos
Δημοσιεύσεις: 21
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 10, 2015 8:46 pm

Re: Ολυμπιάδα Λένινγκτραντ 1991

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από manousos » Τρί Μάιος 30, 2017 10:52 pm

Edit: Λάθος Λύση
nikkru έγραψε:Υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις με αυτές τις προϋποθέσεις, π.χ. η f(x)=x^{2017}
Έστω \displaystyle{x_{0} \in (0,1)} με \displaystyle{f(x_{0}) \neq x_{0}} και προφανώς \displaystyle{f(x_{0}) \in (0,1)} αφού η \displaystyle{f} γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{[0,1]}.

Ακόμη \displaystyle{f([0,x_{0}]) = [0,f(x_{0})]} (1) και \displaystyle{f([x_{0},1]) = [f(x_{0}),1]} (2) αφού \displaystyle{f} συνεχής και γνησίως αύξουσα σε όλο το \displaystyle{[0,1]}.

\displaystyle{\bullet} Αν \displaystyle{f(x_{0})>x_{0}} \displaystyle{\Rightarrow} \displaystyle{\left |[0,x_{0}] \right | < \left |[0,f(x_{0})] \right |} ΑΤΟΠΟ από (1)

\displaystyle{\bullet} Αν \displaystyle{f(x_{0})<x_{0}} \displaystyle{\Rightarrow} \displaystyle{\left |[x_{0},1] \right |<\left |[f(x_{0}),1] \right |} ΑΤΟΠΟ από (2)

Άρα \displaystyle{f(x)=x\; ,x\in[0,1]}

Υ.Γ Μπορεί να είναι και πατάτα δεν ξέρω :)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες