Εύρεση συνάρτησης

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Εύρεση συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τρί Ιούλ 25, 2017 10:23 am

Nα βρεθούν όλες οι f:\mathbb{Z} -> \mathbb{Z} ώστε για κάθε ακέραιο n να ισχύουν ταυτόχρονα οι παρακάτω σχέσεις:
f(n+8) \le f(n)+8
f(n+11) \ge f(n)+11


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.

Λέξεις Κλειδιά:
Friedoon
Δημοσιεύσεις: 61
Εγγραφή: Δευ Οκτ 24, 2016 6:39 pm
Τοποθεσία: Γλυφάδα

Re: Εύρεση συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Friedoon » Τρί Ιούλ 25, 2017 3:26 pm

Θέτουμε g(x)=f(x)-x
και οι σχέσεις ξαναγράφονται :
g(x+8)\le g(x) (1)
g(x+11)\ge g(x). (2)
Από τα παραπάνω παίρνουμε g(x+3)\ge g(x) (3).
Από την (1) έχουμε g(x)\ge g(x+8) \ge g(x+16) \ge g(x+24)
Από την (3) έχουμε g(x)\le g(x+3)\le \dots \le g(x+24)
Άρα g(x)=g(x+24) και άρα g(x)=g(x+3) και g(x)=g(x+8)
Όμως όμοια με πριν από τις (1) και (2) παιρνουμε g(x)=g(x+88)\Rightarrow g(x)=g(x+1) (επειδή 88\equiv 1 (mod3) και g(x)=g(x+3))
Άρα η g(x) είναι σταθερή και άρα f(x)=x+a που επαληθεύει τις αρχικές σχέσεις για κάθε a


Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες