Ακρότατο με ακεραίους

#1

Αν $\displaystyle{a,b,c}$ είναι θετικοί ακέραιοι, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle{\Omega=(a+b+c)^3-27abc}$ όταν

( $\displaystyle{\color{red}\spadesuit}$ ) $\displaystyle{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2> 0}$

και όταν

( $\displaystyle{\color{red}\clubsuit}$ ) $\displaystyle{a\ne b\ne c\ne a.}$

Ορέστης Λιγνός · #2

matha έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 23, 2018 12:51 am
Αν $\displaystyle{a,b,c}$ είναι θετικοί ακέραιοι, να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle{\Omega=(a+b+c)^3-27abc}$ όταν

( $\displaystyle{\color{red}\spadesuit}$ ) $\displaystyle{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2> 0}$

και όταν

( $\displaystyle{\color{red}\clubsuit}$ ) $\displaystyle{a\ne b\ne c\ne a.}$

Θα λύσουμε τα ερωτήματα με την αντίστροφη σειρά.

α) Έστω $a \neq b \neq c \neq a$ .

Επειδή η παράσταση $\Omega$ είναι συμμετρική ως προς τα a,b,c

, υποθέτουμε ότι c>b>a

.
Μπορούμε λοιπόν να θέσουμε b=a+x, c=a+y

, με $y>x \geqslant 1$ .

Με αντικατάσταση και πράξεις προκύπτει $\boxed{\Omega=9a(x^2-xy+y^2)+(x+y)^3}$ (1).

Είναι $y>x \geqslant 1 \Rightarrow y \geqslant 2$ (2) και $y-x \geqslant 1$ (3).

Άρα, από (2),(3), είναι $x^2-xy+y^2=y(y-x)+x^2 \geqslant 2+1=3 \Rightarrow x^2-xy+y^2 \geqslant 3$ , με την ισότητα για x=1,y=2

(4).

Ακόμη, $x+y \geqslant 1+2=3 \Rightarrow x+y \geqslant 3$ , με την ισότητα για x=1,y=2

(5).

Αφού $a \in \mathbb{N^*}$ , είναι $a \geqslant 1$ (6).
Συνδυάζοντας τις (1),(4), (5), (6) έχουμε $\boxed{\Omega \geqslant 54}$ , με την ισότητα για a=1,b=a+x=2, c=a+y=3

, δηλαδή για $\boxed{a=1,b=2,c=3}$ .

β) Έστω (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>0

, δηλαδή να μην ισχύει a=b=c

.

Εδώ διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.

Περίπτωση 1: Ανά δύο οι αριθμοί δεν είναι ίσοι, δηλαδή $a \neq b \neq c \neq a$ . Έτσι αναγόμαστε στην περίπτωση α), όπου αποδείχτηκε ότι $\boxed{\Omega \geqslant 54}$ .

Περίπτωση 2: Δύο εκ των αριθμών a,b,c

είναι ίσοι, και ο τρίτος διαφορετικός.

Έστω $a=b \neq c$ . Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:

Υποπερίπτωση 2α) c>a=b

. Έστω τότε c=a+x

. Με αντικατάσταση των σχέσεων c=a+x, a=b

στην $\Omega$ λαμβάνουμε $\Omega=x^3+9ax^2$ .

Αφού προφανώς $x \geqslant 1$ (είναι x=c-a>0

) και $a \geqslant 1$ , έχουμε $\boxed{\Omega \geqslant 10}$ , με την ισότητα για $\boxed{a=b=1,c=2}$ .

Υποπερίπτωση 2β) c<a=b

. Έστω τότε c=a-x

, με $1 \leqslant x <a$ (7)

Με αντικατάσταση είναι $\Omega=-x^3+9ax^2$ .

Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=-x^3+9ax^2

με $1 \leqslant x < a$ .

Είναι f'(x)=-3x^2+18ax=3x(6a-x)>0

, αφού $1 \leqslant x<a$ . Έτσι, f'(x)>0

, άρα η

είναι γνησίως αύξουσα.

Επομένως, $x \geqslant 1 \Rightarrow f(x) \geqslant f(1) \Rightarrow f(x) \geqslant 9a-1$ (8).

Αφού $a>x \Rightarrow a \geqslant x+1 \geqslant 2$ , οπότε $a \geqslant 2$ (9).

Οι (8), (9) δίνουν $\Omega=-x^3+9ax^2=f(x) \geqslant 17$ , άρα $\Omega \geqslant 17$ , που όμως είναι μεγαλύτερο της ελάχιστης τιμής

που βρήκαμε στην υποπερίπτωση 2α).

Τελικά, ισχύει $\boxed{\Omega \geqslant 10}$ , με την ισότητα για $\boxed{a=b=1,c=2}$ .

Ακρότατο με ακεραίους

Ακρότατο με ακεραίους

Re: Ακρότατο με ακεραίους

Μέλη σε σύνδεση