Ανισότητα S435 από το MR
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Ανισότητα S435 από το MR
Επισυνάπτω τη λύση μου στην ανισότητα S435 από το Mathematical Reflections 2018 τ.1
(βέβαια αρκετά απλή για Seniors)
(βέβαια αρκετά απλή για Seniors)
Houston, we have a problem!
Λέξεις Κλειδιά:
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6422
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Ανισότητα S435 από το MR
Μια συντομότερη απόδειξη:
Από την και τις όμοιες, προκύπτει
οπότε
το αριστερό μέλος είναι
Από την και τις όμοιες, προκύπτει
οπότε
το αριστερό μέλος είναι
Μάγκος Θάνος
-
- Δημοσιεύσεις: 137
- Εγγραφή: Παρ Απρ 09, 2010 12:40 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
Re: Ανισότητα S435 από το MR
Άλλη μία λύση:
Έχουμε ότι
.
Οπότε, αρκεί να αποδείξουμε ότι .
Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Schur , παίρνουμε
.
Απομένει να αποδείξουμε ότι (1)
Θέτοντας , η ανισότητα (1) μπορεί να γραφεί ως , που είναι πλέον προφανής.
Διαφορετικά:
Χρησιμοποιώντας την ανισότητα (σελίδα 9 εδώ), και λαμβάνοντας υπόψη την δοσμένη συνθήκη
για να αποδείξουμε την δοθείσα ανισότητα αρκεί να δείξουμε ότι
ή
ή , που ισχύει από την ανισότητα Cauchy - Schwarz.
Έχουμε ότι
.
Οπότε, αρκεί να αποδείξουμε ότι .
Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Schur , παίρνουμε
.
Απομένει να αποδείξουμε ότι (1)
Θέτοντας , η ανισότητα (1) μπορεί να γραφεί ως , που είναι πλέον προφανής.
Διαφορετικά:
Χρησιμοποιώντας την ανισότητα (σελίδα 9 εδώ), και λαμβάνοντας υπόψη την δοσμένη συνθήκη
για να αποδείξουμε την δοθείσα ανισότητα αρκεί να δείξουμε ότι
ή
ή , που ισχύει από την ανισότητα Cauchy - Schwarz.
Νίκος Κ.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες