Σελίδα 1 από 1

Συναρτησιακή!

Δημοσιεύτηκε: Τετ Απρ 25, 2018 9:44 pm
από matha
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις \displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},} για τις οποίες ισχύει

\displaystyle{f(x^{2019})=f^{2019}(x),~f(x+y)=f(x)+f(y)}

για κάθε \displaystyle{x,y\in \mathbb{R}.}

Re: Συναρτησιακή!

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Απρ 26, 2018 11:40 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
matha έγραψε:
Τετ Απρ 25, 2018 9:44 pm
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις \displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},} για τις οποίες ισχύει

\displaystyle{f(x^{2019})=f^{2019}(x),~f(x+y)=f(x)+f(y)}

για κάθε \displaystyle{x,y\in \mathbb{R}.}

Με επαγωγή προκύπτει από την δεύτερη σχέση ότι a\in \mathbb{R},q\in \mathbb{Q}\Rightarrow f(qa)=qf(a)

Επίσης για x=1 η δεύτερη δίνει ότι f(1)=0 \vee 1 \vee -1



1)Αν f(1)=1

τότε για a\in \mathbb{R},x\in \mathbb{Q}

η f((1+ax)^{2019})=(f(1+ax))^{2019}

δίνει ότι f(a^{2})=(f(a))^{2}(και πολλές άλλες άχρηστες σχέσεις)

(σαν πολυώνυμο του x είναι το μηδενικό αφού έχει άπειρες ρίζες)

Για a=x+y η f(a^{2})=(f(a))^{2} δίνει

f(xy)=f(x)f(y)

Αλλά έχουμε δεί (κάπου εδω) ότι η f που ικανοποιεί τις

f(xy)=f(x)f(y) και f(x+y)=f(x)+f(y) και f(1)=1

είναι η f(x)=x,x\in \mathbb{R}

2)Αν f(1)=-1 τότε η g(x)=-f(x) ικανοποιεί το 2)

Αρα f(x)=-x,x\in \mathbb{R}

3)Αν f(1)=0 τότε

τότε για a\in \mathbb{R},x\in \mathbb{Q}

η f((1+ax)^{2019})=(f(1+ax))^{2019}

δίνει ότι f(a)=0

προκύπτει ότι x\in \mathbb{R}\Rightarrow f(x)=0