Συναρτησιακή!

#1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},}$ για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{f(x^{2019})=f^{2019}(x),~f(x+y)=f(x)+f(y)}$

για κάθε $\displaystyle{x,y\in \mathbb{R}.}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

matha έγραψε: ↑
Τετ Απρ 25, 2018 9:44 pm
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},}$ για τις οποίες ισχύει

$\displaystyle{f(x^{2019})=f^{2019}(x),~f(x+y)=f(x)+f(y)}$

για κάθε $\displaystyle{x,y\in \mathbb{R}.}$

Με επαγωγή προκύπτει από την δεύτερη σχέση ότι $a\in \mathbb{R},q\in \mathbb{Q}\Rightarrow f(qa)=qf(a)$

Επίσης για x=1

η δεύτερη δίνει ότι $f(1)=0 \vee 1 \vee -1$

1)Αν f(1)=1

τότε για $a\in \mathbb{R},x\in \mathbb{Q}$

η $f((1+ax)^{2019})=(f(1+ax))^{2019}$

δίνει ότι $f(a^{2})=(f(a))^{2}$ (και πολλές άλλες άχρηστες σχέσεις)

(σαν πολυώνυμο του

είναι το μηδενικό αφού έχει άπειρες ρίζες)

Για a=x+y

η $f(a^{2})=(f(a))^{2}$ δίνει

f(xy)=f(x)f(y)

Αλλά έχουμε δεί (κάπου εδω) ότι η

που ικανοποιεί τις

f(xy)=f(x)f(y)

και

είναι η $f(x)=x,x\in \mathbb{R}$

2)Αν f(1)=-1

τότε η

ικανοποιεί το 2)

Αρα $f(x)=-x,x\in \mathbb{R}$

3)Αν f(1)=0

τότε

τότε για $a\in \mathbb{R},x\in \mathbb{Q}$

η $f((1+ax)^{2019})=(f(1+ax))^{2019}$

δίνει ότι f(a)=0

προκύπτει ότι $x\in \mathbb{R}\Rightarrow f(x)=0$

Συναρτησιακή!

Συναρτησιακή!

Re: Συναρτησιακή!

Μέλη σε σύνδεση