Ελάχιστη Τιμή

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Number
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Τρί Απρ 24, 2018 7:53 pm

Ελάχιστη Τιμή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Number » Πέμ Μάιος 03, 2018 7:38 pm

Έστω x,y,a\in \mathbb{R} με x+y=2a-4 και xy=a^2-3a+5
Να βρείται την ελάχιστη τιμή του x^2+y^2.
4η εθνική μαθηματική Ολυμπιάδα



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11867
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ελάχιστη Τιμή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Μάιος 03, 2018 10:47 pm

Number έγραψε:
Πέμ Μάιος 03, 2018 7:38 pm
Έστω x,y,a\in \mathbb{R} με x+y=2a-4 και xy=a^2-3a+5
Να βρείται την ελάχιστη τιμή του x^2+y^2.
4η εθνική μαθηματική Ολυμπιάδα
Τα x,y είναι ρίζες της c^2-(2a-4)c+ a^2-3a+5=0. Επειδή θέλουμε πραγματικές ρίζες, η διακρίνουσα δίνει a\le -1. Τώρα

x^2+y^2= (x+y)^2-2xy = (4a^2-16a+16)-2(a^2-3a+5)= 2a^2-10a+6. Το ελάχιστο αυτής λαμβάνεται για a=-1, καθώς η δευτεροβάθμια είναι φθίνουσα μέχρι το a=5/2 άρα λαμβάνει το ελάχιστο στο άκρο -1 του συνόλου που διατρέχει το a.

Με τρώει η περιέργεια, για ποια "4η εθνική μαθηματική Ολυμπιάδα" συζητάμε;

Edit: Αρχικά είχα λύση που παρέβλεπε ότι τα x,y είναι πραγματικά, και άρα περιορίζεται το a. Ευχαριστώ τον Σταύρο Παπαδόπουλο για την επισήμανση.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1053
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ελάχιστη Τιμή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Μάιος 04, 2018 11:07 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Μάιος 03, 2018 10:47 pm

Με τρώει η περιέργεια, για ποια "4η εθνική μαθηματική Ολυμπιάδα" συζητάμε;
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 58&t=32733


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες