Φράγμα για άθροισμα απολύτων τιμών

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2512
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Φράγμα για άθροισμα απολύτων τιμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιούλ 12, 2018 8:35 pm

Εστω a_{1},a_{2},....a_{m} μη αρνητικοί πραγματικοί και

a_{m+1},a_{m+2},....a_{n} μη θετικοί πραγματικοί.

οπου m<n θετικοί φυσικοί.

Να δειχθεί ότι υπάρχει

1\leq j\leq n

ώστε

\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\left | a_{k} \right |\leq \left | \sum_{k=1}^{j}a_{k} \right |



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Φράγμα για άθροισμα απολύτων τιμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Πέμ Ιούλ 12, 2018 9:36 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Ιούλ 12, 2018 8:35 pm
Εστω a_{1},a_{2},....a_{m} μη αρνητικοί πραγματικοί και

a_{m+1},a_{m+2},....a_{n} μη θετικοί πραγματικοί.

οπου m<n θετικοί φυσικοί.

Να δειχθεί ότι υπάρχει

1\leq j\leq n

ώστε

\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\left | a_{k} \right |\leq \left | \sum_{k=1}^{j}a_{k} \right |
Αν \left | \sum_{k=m+1}^{n}a_k \right | \leq 2\left | \sum_{k=1}^{m}a_k \right|\Rightarrow \left | \sum_{k=m+1}^{n}a_k \right |+ \left | \sum_{k=1}^{m}a_k \right| \leq 3\left | \sum_{k=1}^{m}a_k \right|
 \Rightarrow  \sum_{k=1}^{n}|a_k| \leq 3\left | \sum_{k=1}^{m}a_k \right|

\left | \sum_{k=m+1}^{n}a_k \right | \geq 2\left | \sum_{k=1}^{m}a_k \right|
τότε \left | \sum_{k=1}^{n}a_k \right |=\left | \sum_{k=m+1}^{n}a_k \right |-\left | \sum_{k=1}^{m}a_k \right |
και \sum_{k=1}^{n}\left | a_k \right |=\left | \sum_{k=1}^{m}a_k \right |+\left | \sum_{k=m+1}^{n}a_k \right |
θέτω a= \sum_{k=1}^{m}a_k και b= \sum_{k=m+1}^{n}a_k

Aρκεί να δειχθεί ότι |a|+|b|\leq 3(|b|-|a|) αν ισχύει ότι |b|\geq 2|a|
|a|+|b|\leq 3(|b|-|a|)\Rightarrow 4|a|\leq 2|b|\Rightarrow \Rightarrow 2|a|\leq |b| που ισχύει.


ksofsa
Δημοσιεύσεις: 160
Εγγραφή: Κυρ Απρ 18, 2010 9:42 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Φράγμα για άθροισμα απολύτων τιμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ksofsa » Πέμ Ιούλ 12, 2018 9:48 pm

Αλλη μια λύση.

Θέτω

P=a_{1}+a_{2}+...+a_{m},Q=a_{m+1}+a_{m+2}+...+a_{n}, R=P+Q.

Από την τριγωνική ανισότητα είναι:

3max(\left | P \right |,\left | R \right |)\geq 2\left | P \right |+\left | R \right |\geq \left | R-2P \right |=\left | P-Q \right |=\left | a_{1}+a_{2}+...a_{m}-a_{m+1}...-a_{n} \right |=\left | a_{1} \right |+\left | a_{2} \right |+...+\left | a_{n} \right |\Rightarrow max(\left | P \right |,\left | R \right |)\geq \frac{1}{3}(\left | a_{1} \right |+\left | a_{2} \right |+...+\left | a_{n} \right |)

Αρα για j=m ή j=n , ικανοποιείται το ζητούμενο.


Κώστας Σφακιανάκης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2512
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Φράγμα για άθροισμα απολύτων τιμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιούλ 12, 2018 10:12 pm

Μπράβο και στους δύο.

Στην ουσία είναι ίδια λύση και ίδια με αυτήν που θα γράψω παρακάτω.


\sum_{k=1}^{n}\left | a_{k} \right |=2\sum_{k=1}^{m}a_{k}-\sum_{k=1}^{n}a_{k}\leq 2\left |\sum_{k=1}^{m}a_{k} \right |+\left | \sum_{k=1}^{n}a_{k} \right |\leq 3 max(\left |\sum_{k=1}^{m}a_{k} \right |,\left | \sum_{k=1}^{n}a_{k} \right |).

Η άσκηση είναι λήμμα από κάποιο paper.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης