Κυβικό τετράγωνο

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 951
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Κυβικό τετράγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Ιούλ 14, 2018 12:37 pm

Οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c είναι τέτοιοι, ώστε να υπάρχει ακριβώς ένα τετράγωνο, όλες οι κορυφές του οποίου να βρίσκονται πάνω στην γραφική παράσταση της συνάρτησης  y=x^3+ax^2+bx+c. Με τι ισούται η πλευρά του τετραγώνου;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1791
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Κυβικό τετράγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Ιούλ 15, 2018 1:21 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιούλ 14, 2018 12:37 pm
Οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c είναι τέτοιοι, ώστε να υπάρχει ακριβώς ένα τετράγωνο, όλες οι κορυφές του οποίου να βρίσκονται πάνω στην γραφική παράσταση της συνάρτησης  y=x^3+ax^2+bx+c. Με τι ισούται η πλευρά του τετραγώνου;

Η απάντηση \sqrt{6\sqrt{2}} ή κάτι τέτοιο, "παίζει" να είναι σωστή;;;


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 951
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κυβικό τετράγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Ιούλ 15, 2018 1:27 pm

rek2 έγραψε:
Κυρ Ιούλ 15, 2018 1:21 pm
Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιούλ 14, 2018 12:37 pm
Οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c είναι τέτοιοι, ώστε να υπάρχει ακριβώς ένα τετράγωνο, όλες οι κορυφές του οποίου να βρίσκονται πάνω στην γραφική παράσταση της συνάρτησης  y=x^3+ax^2+bx+c. Με τι ισούται η πλευρά του τετραγώνου;

Η απάντηση \sqrt{6\sqrt{2}} ή κάτι τέτοιο, "παίζει" να είναι σωστή;;;
Ναι, είναι σωστή ;)


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1791
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Κυβικό τετράγωνο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Ιούλ 15, 2018 2:16 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Κυρ Ιούλ 15, 2018 1:27 pm
rek2 έγραψε:
Κυρ Ιούλ 15, 2018 1:21 pm
Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Ιούλ 14, 2018 12:37 pm
Οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c είναι τέτοιοι, ώστε να υπάρχει ακριβώς ένα τετράγωνο, όλες οι κορυφές του οποίου να βρίσκονται πάνω στην γραφική παράσταση της συνάρτησης  y=x^3+ax^2+bx+c. Με τι ισούται η πλευρά του τετραγώνου;

Η απάντηση \sqrt{6\sqrt{2}} ή κάτι τέτοιο, "παίζει" να είναι σωστή;;;
Ναι, είναι σωστή ;)
Ναι, ε;! :winner_second_h4h:

Και τώρα ποιος γράφει την λύση;;; :lol: :lol: :lol:


Άβαταρ μέλους
iriniper
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 13, 2016 3:54 pm
Επικοινωνία:

Re: Κυβικό τετράγωνο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από iriniper » Τετ Ιούλ 18, 2018 2:34 pm

Βήμα 1ο (μεταφορά της κυβικής): Έστω f(x)=x^3+a*x^2+b*x+c
Επειδή f(x)-f\left ( -\frac{a}{3} \right )=\left ( x+\frac{a}{3} \right )^3 +\left ( b-\frac{a^2}{3} \right )\left ( x+\frac{a}{3} \right )
με τη μεταφορά y=f\left (x-\frac{a}{3}\right )-f\left (-\frac{a}{3} \right )
μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να θεωρήσουμε μόνο τις κυβικές της μορφής y=x^3+bx.

Βήμα 2ο (το κέντρο του τετραγώνου): Η κυβική y=x^3+bx είναι κεντρικά συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων. Τότε ''αναγκαστικά'' (θέλει απόδειξη αυτό) το κέντρο του τετραγώνου θα είναι επίσης στην αρχή των αξόνων. Αν λοιπόν το τετράγωνο έχει κορυφές τα σημεία A, B με θετικές τετμημένες, τότε θα έχει κορυφές και τα συμμετρικά τους ως προς την αρχή των αξόνων A', B' με αρνητικές τετμημένες (βλέπε σχήμα).
cubic_square.png
cubic_square.png (23.71 KiB) Προβλήθηκε 414 φορές
Βήμα 3ο (υπολογισμός του b): Έστω A(x_1, y_1) και B(x_2, y_2) με y_1=x_1(x_1^2+b) και y_2=x_2(x_2^2+b) αντίστοιχα. Από την καθετότητα των \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} παίρνουμε \left ( x_1^2 +b \right )\left (x_2^2 +b \right )=-1 (Προφανώς το b πρέπει να είναι αρνητικό).
Ακόμα, επειδή το B είναι η στροφή του A κατά +90^\circ, έχουμε ότι x_2^2=y_1^2, οπότε η προηγούμενη σχέση γράφεται \left ( x_1^2+b \right )\left (y_1^2+b \right )=-1
Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η κορυφή A (και όλες οι κορυφές) του τετραγώνου βρίσκεται στην τομή της κυβικής y=x^3+bx με την \left ( x^2 +b \right )\left (y^2 +b \right )=-1.
Ας υπολογίσουμε ποιες είναι οι τομές αυτές. Μετά την αντικατάσταση έχουμε:
\left ( x^2+b \right )\left (x^2(x^2+b)^2+b \right )=-1
Θέτοντας z=x^2+b η προηγούμενη σχέση γίνεται
z\left ((z-b)z^2+b \right )=-1 \Leftrightarrow
z^4-bz^3+bz+1=0 \Leftrightarrow
z^2-bz+\frac{b}{z}+\frac{1}{z^2}=0 \Leftrightarrow
\left (z-\frac{1}{z} \right )^2 - b\left(z-\frac{1}{z})+2=0
Επειδή θέλουμε το ελάχιστον δυνατόν πλήθος λύσεων (ένα τετράγωνο και όχι δύο -βλέπε και δυναμικό σχήμα με το GeoGebra στο τέλος), θα πρέπει \Delta=0\Leftrightarrow b^2-8=0\Rightarrow b=-\sqrt{8}

Βήμα 4ο (υπολογισμός της πλευράς του τετραγώνου): Βρίσκουμε το z=\frac{-\sqrt{2}\pm\sqrt{6}}{2}, βρίσκουμε το x^2=\frac{\sqrt{2}}{2}(3\pm\sqrt{3}), άρα το εμβαδόν του τετραγώνου είναι 2(x_1^2+y_1^2)=2(x_1^2+x_2^2)=6\sqrt{2} και τέλος βρίσκουμε την πλευρά \sqrt{6\sqrt{2}}... Παραθέτω και το δυναμικό σχήμα...



Ειρήνη Περυσινάκη
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1791
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Κυβικό τετράγωνο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τετ Ιούλ 18, 2018 11:03 pm

iriniper έγραψε:
Τετ Ιούλ 18, 2018 2:34 pm
.....
Επειδή θέλουμε το ελάχιστον δυνατόν πλήθος λύσεων (ένα τετράγωνο και όχι δύο -βλέπε και δυναμικό σχήμα με το GeoGebra στο τέλος), θα πρέπει \Delta=0\Leftrightarrow b^2-8=0\Rightarrow b=-\sqrt{8}

....
Στην πραγματικότητα θέλουμε η εξίσωση, ως προς z, να έχει μοναδική θετική λύση. Αποκλειόμενης της περίπτωσης με θετική διακρινουσα (θα βρούμε, τελικά, δύο θετικές λύσεις) απομένει Δ = 0 κ.λπ.

Αυτό δεν μειώνει, το αντίθετο θα έλεγα, την λύση...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης