Ανίσωση με ισότητα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Ανίσωση με ισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Δευ Ιούλ 30, 2018 11:49 am

Οι αριθμοί x,y,z είναι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί. Αν ισχύ x+z+y=xyz να αποδείξετε την ανισότητα

2(x^{2}+z^{2}+y^{2})\geq 3(x+y+z)



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2512
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανίσωση με ισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Ιούλ 30, 2018 10:38 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Δευ Ιούλ 30, 2018 11:49 am
Οι αριθμοί x,y,z είναι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί. Αν ισχύ x+z+y=xyz να αποδείξετε την ανισότητα

2(x^{2}+z^{2}+y^{2})\geq 3(x+y+z)
Θα δείξουμε την ισχυρότερη

x^{2}+z^{2}+y^{2}\geq \sqrt{3}(x+y+z)

Αν κάποιος από τους x,y,z είναι μηδέν λόγω της συνθήκης θα είναι όλοι και η ανισότητα ισχύει.

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι και τα τρία είναι θετικά.

Είναι εύκολο να δούμε ότι :

Αν x,y,z> 0,x+y+z=xyz

τότε υπάρχουν 0<A,B,C<\frac{\pi }{2}

με x=\tan A,y=\tan B,z=\tan C, A+B+C=\pi


Ετσι η ανισότητα γράφεται

(\tan A)^{2}+(\tan B)^{2}+(\tan C)^{2}\geq \sqrt{3}(\tan A+\tan B+\tan C)(1)

Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι η f(x)=(\tan x)^{2}-\sqrt{3}\tan x,0<x<\frac{\pi }{2}

είναι κυρτή και f(\frac{\pi }{3})=0.

Ετσι η Jensen για την f δίνει την (1)


Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 212
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Ανίσωση με ισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Τρί Ιούλ 31, 2018 12:06 am

Εναλλακτικά για την ισχυρότερη είναι:(x+y+z)^3\geq 27xyz=27(x+y+z)\ll = \gg x+y+z\geq 3\sqrt{3}.Άρα x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\geq \sqrt{3}(x+y+z) κλπ.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2512
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ανίσωση με ισότητα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Ιούλ 31, 2018 12:44 am

Η ισχυρότερη ανισότητα ισχύει για οποιαδήποτε x,y,z.

Πράγματι.

Είναι xy\neq 1 και κυκλικά για τα άλλα.

Η σχέση xy=1 οδηγεί σε άτοπο.

Θέτοντας x=\tan A,y=\tan B,z=\tan C

με -\frac{\pi }{2}<A,B,C<\frac{\pi }{2} ο περιορισμός δίνει \tan (A+B)=\tan -C

Παίρνουμε ότι A+B+C=\pi ,or 0 ,or -\pi

Αλλά η f(x)=(\tan x)^{2}-\sqrt{3}\tan x,-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}
είναι κυρτή.

Επειδή f(\frac{\pi }{3})=0,f(0)=0,f(-\frac{\pi }{3})>0

η Jensen μας την δίνει.

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν x=y=z\geq 0


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης