Ανίσωση με ισότητα

Xriiiiistos · #1

Οι αριθμοί x,y,z

είναι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί. Αν ισχύ x+z+y=xyz

να αποδείξετε την ανισότητα

$2(x^{2}+z^{2}+y^{2})\geq 3(x+y+z)$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Xriiiiistos έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 30, 2018 11:49 am
Οι αριθμοί είναι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί. Αν ισχύ να αποδείξετε την ανισότητα

$2(x^{2}+z^{2}+y^{2})\geq 3(x+y+z)$

Θα δείξουμε την ισχυρότερη

$x^{2}+z^{2}+y^{2}\geq \sqrt{3}(x+y+z)$

Αν κάποιος από τους x,y,z

είναι μηδέν λόγω της συνθήκης θα είναι όλοι και η ανισότητα ισχύει.

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι και τα τρία είναι θετικά.

Είναι εύκολο να δούμε ότι :

Αν x,y,z> 0,x+y+z=xyz

τότε υπάρχουν $0<A,B,C<\frac{\pi }{2}$

με $x=\tan A,y=\tan B,z=\tan C, A+B+C=\pi$

Ετσι η ανισότητα γράφεται

$(\tan A)^{2}+(\tan B)^{2}+(\tan C)^{2}\geq \sqrt{3}(\tan A+\tan B+\tan C)$ (1)

Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι η $f(x)=(\tan x)^{2}-\sqrt{3}\tan x,0<x<\frac{\pi }{2}$

είναι κυρτή και $f(\frac{\pi }{3})=0$ .

Ετσι η Jensen για την

δίνει την (1)

min## · #3

Εναλλακτικά για την ισχυρότερη είναι: $(x+y+z)^3\geq 27xyz=27(x+y+z)\ll = \gg x+y+z\geq 3\sqrt{3}$ .Άρα $x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\geq \sqrt{3}(x+y+z)$ κλπ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Η ισχυρότερη ανισότητα ισχύει για οποιαδήποτε x,y,z

.

Πράγματι.

Είναι $xy\neq 1$ και κυκλικά για τα άλλα.

Η σχέση xy=1

οδηγεί σε άτοπο.

Θέτοντας $x=\tan A,y=\tan B,z=\tan C$

με $-\frac{\pi }{2}<A,B,C<\frac{\pi }{2}$ ο περιορισμός δίνει $\tan (A+B)=\tan -C$

Παίρνουμε ότι $A+B+C=\pi ,or 0 ,or -\pi$

Αλλά η $f(x)=(\tan x)^{2}-\sqrt{3}\tan x,-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$
είναι κυρτή.

Επειδή $f(\frac{\pi }{3})=0,f(0)=0,f(-\frac{\pi }{3})>0$

η Jensen μας την δίνει.

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $x=y=z\geq 0$

Ανίσωση με ισότητα

Ανίσωση με ισότητα

Re: Ανίσωση με ισότητα

Re: Ανίσωση με ισότητα

Re: Ανίσωση με ισότητα

Μέλη σε σύνδεση