Δύσκολη Ανίσωση

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Δύσκολη Ανίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Πέμ Αύγ 16, 2018 3:58 pm

Oι αριθμοί x,y,z είναι θετικοί τέτοιοι ώστε να μπορούν να γίνουν πλευρές τριγώνου και να επαληθεύουν την σχέση x+y+z=2. Να αποδείξετε

\frac{2x+y}{\sqrt{x+z}}+\frac{2y+z}{\sqrt{y+x}}+\frac{2z+x}{\sqrt{z+y}}\geq 6\sqrt{2}\sqrt[6]{zx+yz+xy-xyz-1}



Η συγκεκριμένη είναι δικιά μου άσκηση όταν ανεβαστεί λύση θα ήθελα να μάθω σε τι επίπεδο διαγωνισμού θα την κατατάσσατε(από περιέργια) :coolspeak:



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11290
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Δύσκολη Ανίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Αύγ 16, 2018 5:24 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Πέμ Αύγ 16, 2018 3:58 pm
Oι αριθμοί x,y,z είναι θετικοί τέτοιοι ώστε να μπορούν να γίνουν πλευρές τριγώνου και να επαληθεύουν την σχέση x+y+z=2. Να αποδείξετε

\frac{2x+y}{\sqrt{x+z}}+\frac{2y+z}{\sqrt{y+x}}+\frac{2z+x}{\sqrt{z+y}}\geq 6\sqrt{2}\sqrt[6]{zx+yz+xy-xyz-1}
Κάτι δεν πάει καλά: Για x=y=z=\frac {2}{3} , η υπόρριζη ποσότητα  zx+yz+xy-xyz-1= \frac {4}{9}+\frac {4}{9}+\frac {4}{9}-\frac {8}{27}-1= -\frac {11}{27} είναι αρνητική...

Edit αργότερα: Το αποσύρω καθώς έκανα λάθος τις πράξεις... :oops:
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Πέμ Αύγ 16, 2018 6:11 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 793
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Δύσκολη Ανίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Αύγ 16, 2018 5:47 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Πέμ Αύγ 16, 2018 5:24 pm
Xriiiiistos έγραψε:
Πέμ Αύγ 16, 2018 3:58 pm
Oι αριθμοί x,y,z είναι θετικοί τέτοιοι ώστε να μπορούν να γίνουν πλευρές τριγώνου και να επαληθεύουν την σχέση x+y+z=2. Να αποδείξετε

\frac{2x+y}{\sqrt{x+z}}+\frac{2y+z}{\sqrt{y+x}}+\frac{2z+x}{\sqrt{z+y}}\geq 6\sqrt{2}\sqrt[6]{zx+yz+xy-xyz-1}
Κάτι δεν πάει καλά: Για x=y=z=\frac {2}{3} , η υπόρριζη ποσότητα  zx+yz+xy-xyz-1= \frac {4}{9}+\frac {4}{9}+\frac {4}{9}-\frac {8}{27}-1= -\frac {11}{27} είναι αρνητική...
Πράγματι κάτι δεν πάει αλλά \frac {4}{9}+\frac {4}{9}+\frac {4}{9}-\frac {8}{27}-1=\dfrac{1}{27}... Το πρόβλημα είναι ότι θέτοντας x=y=z=\frac {2}{3} δεν έχουμε ισότητα...


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 560
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Δύσκολη Ανίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Πέμ Αύγ 16, 2018 6:11 pm

Παρ΄όλα αυτά η ανισότητα εξακολουθεί να είναι πολύ ωραία και έχει μια εξαιρετικά ωραία λύση.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Δύσκολη Ανίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Πέμ Αύγ 16, 2018 6:20 pm

Δεν μπορώ να βρω λάθος στην διαδικασία .
Αρχίζω γράφοντας \frac{2x+y}{\sqrt{x+y}}=\frac{(x+y-z)+(x+z)}{\sqrt{x+y}}\geq 2\frac{\sqrt{(x+z)(x+y-z)}}{\sqrt{x+z}}=2\sqrt{(x+y-z)}ομοίως καιγ ια τα άλλα η ανίσωση επιτρέπεται αφού x+y>z τώρα έχουμε

επίσης 2\sqrt{(x+y-z)}=2\sqrt{(2-2z)}=2\sqrt{2}\sqrt{1-z} άρα αρκεί να αποδείξουμε 2\sqrt{2}\sqrt{1-z}+2\sqrt{2}\sqrt{1-x}+2\sqrt{2}\sqrt{1-y}\geq 6\sqrt{2}\sqrt[6]{zx+...}

το πρώτο μέλος γίνεται 2\sqrt{2}(\sqrt{1-z}+\sqrt{1-x}+\sqrt{1-y})\geq 2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt[3]{\sqrt{(1-x)(1-y)(1-z)}}=6\sqrt{2}\sqrt[6]{((1-x)(1-y)(1-z))}

(1-x)(1-y)(1-z)=1+zx+yx+zx-(x+y+z(=2))-xyz και έτσι ολοκληρώνεται


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Δύσκολη Ανίσωση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Πέμ Αύγ 16, 2018 8:15 pm

Όταν έγραψα την λύση έφυγα απευθείας από το σπίτι για στίβο. Καθώς έκανα κατάλαβα γιατί δεν ισχύ η ισότητα. (Η λύση είναι στην απόκρυψη κειμένου από πάνω).
Η ισότητα θα ισχύ όταν \sqrt{1-z}=\sqrt{1-x}=\sqrt{1-y}<=>x=y=z(i) (δες προτελευταία σειρά από πάνω) και επείσης θα πρέπει x+z=x+y-z (3 σειρές από το τέλος) που είναι αδύνατη λόγο της (i) οπότε αποκλίεται η ισότητα (αλλιώς θα είναι όλα 0 πράγμα άτοπο)
Οπότε το μόνο λάθος που πρέπει να έκανα είναι ότι δεν επαλήθευσα αν ισχύ η ισότητα που προφανώς δεν ισχύ. Τέλος πάντων χωρ'ις την ισότητα είμαι σίγουρος πως είναι σωστή, αφού δημοσίευσα την λύση τι λέτε για την άσκηση; Σε τι επίπεδο θα την βάζατε;


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 793
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Δύσκολη Ανίσωση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Αύγ 16, 2018 9:17 pm

Διαφορετικά:

(Βιάζομαι λίγο θα βάλω τη λύση συνοπτικά)

Αφού x, y, z είναι πλευρές τριγώνου μπορούμε να θέσουμε x=a+b, y=b+c, z=c+a και θα ικανοποιείται πάντα η τριγωνική ανισότητα.

Η συνθήκη γίνεται a+b+c=1 και κάνοντας λίγες πράξεις προκύπτει ότι αρκεί να αποδείξουμε ότι:

\dfrac{1+a+2b}{\sqrt{1+a}}+\dfrac{1+b+2c}{\sqrt{1+b}}+\dfrac{1+c+2a}{\sqrt{1+c}}\geq 6\sqrt{2}\sqrt[6]{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)-1-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a)-2abc}\Leftrightarrow

\dfrac{1+a+2b}{\sqrt{1+a}}+\dfrac{1+b+2c}{\sqrt{1+b}}+\dfrac{1+c+2a}{\sqrt{1+c}}\geq 6\sqrt{2}\sqrt[6]{ab+bc+ca-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a)-2abc}\Leftrightarrow (*)

\dfrac{1+a+2b}{\sqrt{1+a}}+\dfrac{1+b+2c}{\sqrt{1+b}}+\dfrac{1+c+2a}{\sqrt{1+c}}\geq 6\sqrt{2}\sqrt[6]{abc}.

Παρατηρούμε ότι \dfrac{1+a+2b}{\sqrt{1+a}}=\sqrt{a+1}+ \dfrac{2b}{\sqrt{1+a}}\geq 2\sqrt{2b}, επομένως αρκεί:

2\sqrt{2a}+2\sqrt{2b}+2\sqrt{2c}\geq 6\sqrt{2}\sqrt[6]{abc}\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 3\sqrt[6]{abc} που ισχύει από AM-GM.

(*) έθεσα όπου a+b, b+c, c+a το 1-c, 1-a, 1-b.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 560
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Δύσκολη Ανίσωση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Πέμ Αύγ 30, 2018 8:04 pm

Να αποδειχτεί ότι \dfrac{2x+y}{\sqrt{x+z}}+\dfrac{2y+z}{\sqrt{y+x}}+\dfrac{2z+x}{\sqrt{z+y}}\ge 9\sqrt[6]{zx+yz+xy-xyz-1} με τις ίδιες συνθήκες.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 793
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Δύσκολη Ανίσωση

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Αύγ 30, 2018 9:29 pm

JimNt. έγραψε:
Πέμ Αύγ 30, 2018 8:04 pm
Να αποδειχτεί ότι \dfrac{2x+y}{\sqrt{x+z}}+\dfrac{2y+z}{\sqrt{y+x}}+\dfrac{2z+x}{\sqrt{z+y}}\ge 9\sqrt[6]{zx+yz+xy-xyz-1} με τις ίδιες συνθήκες.
Με τον τρόπο που χρησιμοποίησα παραπάνω φτάνουμε στο:

\dfrac{1+a+2b}{\sqrt{1+a}}+\dfrac{1+b+2c}{\sqrt{1+b}}+\dfrac{1+c+2a}{\sqrt{1+c}}\geq 9\sqrt[6]{abc} με a+b+c=1.

Εκτελώντας μια AM-GM στο αριστερό μέλος αρκεί να αποδειχθεί τώρα ότι:

3\sqrt[3]{\dfrac{(1+a+2b)(1+b+2c)(1+c+2a)}{\sqrt{(a+1)(b+1)(c+1)}}}\geq 9\sqrt[6]{abc}\Leftrightarrow (1+a+2b)(1+b+2c)(1+c+2a)\geq

27\sqrt{abc(a+1)(b+1)(c+1)}

Παρατηρούμε πως (a+1)(b+1)(c+1)=1+a+b+c+ab+bc+ca+abc.

Λόγω του ότι (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca), δηλαδή ab+bc+ca\leq \dfrac{1}{3} και a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}, δηλαδή abc\leq \dfrac{1}{27}, προκύπτει ότι (a+1)(b+1)(c+1)\leq \dfrac{64}{27}.

Άρα αρκεί να αποδειχθεί πως (1+a+2b)(1+b+2c)(1+c+2a)\geq 27\sqrt{\dfrac{64}{27}abc}

Παρατηρούμε ακόμα από AM-GM πως 1+a+2b=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+a+b+b\geq 6\sqrt[6]{\dfrac{1}{27}ab^2}

Κάνοντας το ίδιο για τα 1+b+2c και 1+c+2a και πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη προκύπτει ότι:

(1+a+2b)(1+b+2c)(1+c+2a)\geq 6^3\sqrt[6]{\dfrac{1}{27^3}a^3b^3c^3}=6^3\sqrt{\dfrac{1}{27}abc}=8\cdot 27\sqrt{\dfrac{1}{27}abc}=27\sqrt{\dfrac{64}{27}abc} και το ζητούμενο έπεται.

Η ισότητα ισχύει όταν a=b=c=\dfrac{1}{3}, δηλαδή όταν x=y=z=\dfrac{2}{3}.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 560
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Δύσκολη Ανίσωση

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Πέμ Αύγ 30, 2018 9:40 pm

:coolspeak: Αν και η ανισότητα είναι ιδιαίτερα αδύναμη η μετατροπή του δεξιού μέλους την καθιστά ωραία.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης