Κινήσεις στο επίπεδο

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Γιάννης Μπόρμπας
Δημοσιεύσεις: 217
Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
Τοποθεσία: Χανιά

Κινήσεις στο επίπεδο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιάννης Μπόρμπας » Δευ Αύγ 20, 2018 5:20 pm

Στο επίπεδο, ονομάζουμε "ακέραια" τα σημεία που έχουν ακέραιες συντεταγμένες. Ο Νίκος και ο Θανάσης παίζουν το εξής παιχνίδι: Αρχικά, ο Νίκος επιλέγει ένα ακέραιο σημείο, και στην συνέχεια επιλέγει και ο Θανάσης ένα ακέραιο σημείο, διαφορετικό από αυτό του Νίκου. Ο σκοπός του παιχνιδιού είναι ο Νίκος από το σημείο που επέλεξε, να καταφέρει να φτάσει στο σημείο του Θανάση, μέσω κινήσεων. Σε κάθε κίνηση, ο Νίκος μπορεί να μεταβεί από το σημείο A στο σημείο B εάν:
1) Το σημείο B είναι ακέραιο
2) Η απόσταση AB είναι ακέραιος
3) Το ευθύγραμμο τμήμα AB δεν είναι παράλληλο στους άξονες
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του n, έτσι ώστε ανεξάρτητα από την επιλογή ακέραιου σημείου του Θανάση, ο Νίκος μπορεί να φτάσει στο σημείο του Θανάση, κάνοντας το πολύ n κινήσεις.


Γιάννης Μπορμπαντωνάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Κινήσεις στο επίπεδο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Αύγ 21, 2018 10:26 am

Θα δείξω ότι γίνεται για n=3 αλλά όχι για n=2.

Ας δούμε πρώτα πως γίνεται για n=3:

Χωρίς βλάβη της γενικότητας A = (0,0) και B = (a,b) για κάποια a,b \in \mathbb{Z}. Θα επιλέξουμε κατάλληλα x,y,z \in \mathbb{Z} και θα κάνουμε βήματα στις κατευθύνσεις (3x,4x),(5y,12y),(24z,7z). Αυτό επιτρέπεται επειδή τα βήματά μας έχουν μήκη 5x,13y,25z αντίστοιχα.

Είναι απλό να ελεγχθεί (παραλείπω τις πράξεις για το πως έφτασα σε αυτό) ότι με την επιλογή x = 64a-364b,y=-19a+108b,z=-4a+23b καταλήγουμε πράγματι στο (a,b).

Θα δείξω τώρα ότι δεν μπορώ με δύο βήματα να καταλήξω από το (0,0) στο (0,1).

Αν μπορώ αυτό σημαίνει ότι θα υπάρχουν r,s \in \mathbb{Z} ώστε τα r^2 + s^2 και r^2 + (s-1)^2 είναι τέλεια τετράγωνα. [Αν πρώτα κάνω το βήμα (r,s) μετά πρέπει να κάνω το βήμα (-r,-s+1).

Έστω ότι r^2 + s^2 = t^2 με t > 0. Αφού r \neq 0, πρέπει |s| < t. Τότε όμως, για s > 0 έχουμε

\displaystyle  r^2 + (s-1)^2 < r^2 + s^2 = t^2 και \displaystyle  r^2 + (s-1)^2 = r^2 + s^2 - 2s +1 = t^2 - 2s+1 > t^2 - 2t + 1 = (t-1)^2

Άρα το r^2 + (s-1)^2 δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο. Ομοίως καταλήγουμε σε άτοπο αν s < 0. (Από τις συνθήκες είναι s \neq 0.)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης