Κινήσεις στο επίπεδο
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Κινήσεις στο επίπεδο
Στο επίπεδο, ονομάζουμε "ακέραια" τα σημεία που έχουν ακέραιες συντεταγμένες. Ο Νίκος και ο Θανάσης παίζουν το εξής παιχνίδι: Αρχικά, ο Νίκος επιλέγει ένα ακέραιο σημείο, και στην συνέχεια επιλέγει και ο Θανάσης ένα ακέραιο σημείο, διαφορετικό από αυτό του Νίκου. Ο σκοπός του παιχνιδιού είναι ο Νίκος από το σημείο που επέλεξε, να καταφέρει να φτάσει στο σημείο του Θανάση, μέσω κινήσεων. Σε κάθε κίνηση, ο Νίκος μπορεί να μεταβεί από το σημείο στο σημείο εάν:
1) Το σημείο είναι ακέραιο
2) Η απόσταση είναι ακέραιος
3) Το ευθύγραμμο τμήμα δεν είναι παράλληλο στους άξονες
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του , έτσι ώστε ανεξάρτητα από την επιλογή ακέραιου σημείου του Θανάση, ο Νίκος μπορεί να φτάσει στο σημείο του Θανάση, κάνοντας το πολύ κινήσεις.
1) Το σημείο είναι ακέραιο
2) Η απόσταση είναι ακέραιος
3) Το ευθύγραμμο τμήμα δεν είναι παράλληλο στους άξονες
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του , έτσι ώστε ανεξάρτητα από την επιλογή ακέραιου σημείου του Θανάση, ο Νίκος μπορεί να φτάσει στο σημείο του Θανάση, κάνοντας το πολύ κινήσεις.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Κινήσεις στο επίπεδο
Θα δείξω ότι γίνεται για αλλά όχι για .
Ας δούμε πρώτα πως γίνεται για :
Χωρίς βλάβη της γενικότητας και για κάποια . Θα επιλέξουμε κατάλληλα και θα κάνουμε βήματα στις κατευθύνσεις . Αυτό επιτρέπεται επειδή τα βήματά μας έχουν μήκη αντίστοιχα.
Είναι απλό να ελεγχθεί (παραλείπω τις πράξεις για το πως έφτασα σε αυτό) ότι με την επιλογή καταλήγουμε πράγματι στο .
Θα δείξω τώρα ότι δεν μπορώ με δύο βήματα να καταλήξω από το στο .
Αν μπορώ αυτό σημαίνει ότι θα υπάρχουν ώστε τα και είναι τέλεια τετράγωνα. [Αν πρώτα κάνω το βήμα μετά πρέπει να κάνω το βήμα .
Έστω ότι με . Αφού , πρέπει . Τότε όμως, για έχουμε
και
Άρα το δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο. Ομοίως καταλήγουμε σε άτοπο αν . (Από τις συνθήκες είναι .)
Ας δούμε πρώτα πως γίνεται για :
Χωρίς βλάβη της γενικότητας και για κάποια . Θα επιλέξουμε κατάλληλα και θα κάνουμε βήματα στις κατευθύνσεις . Αυτό επιτρέπεται επειδή τα βήματά μας έχουν μήκη αντίστοιχα.
Είναι απλό να ελεγχθεί (παραλείπω τις πράξεις για το πως έφτασα σε αυτό) ότι με την επιλογή καταλήγουμε πράγματι στο .
Θα δείξω τώρα ότι δεν μπορώ με δύο βήματα να καταλήξω από το στο .
Αν μπορώ αυτό σημαίνει ότι θα υπάρχουν ώστε τα και είναι τέλεια τετράγωνα. [Αν πρώτα κάνω το βήμα μετά πρέπει να κάνω το βήμα .
Έστω ότι με . Αφού , πρέπει . Τότε όμως, για έχουμε
και
Άρα το δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο. Ομοίως καταλήγουμε σε άτοπο αν . (Από τις συνθήκες είναι .)
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες