Σελίδα 1 από 1

Ανίσωση!!!

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Αύγ 30, 2018 5:38 pm
από Xriiiiistos
Αν x,y,z μη αρνητικοί να αποδείξετε

(2x+y)(2z+x)(2y+z)(2x+z)(2y+x)(2z+y)\geq 8[(x+y)(y+z)(z+y)]^{2}

Re: Ανίσωση!!!

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Αύγ 30, 2018 6:10 pm
από nikkru
Xriiiiistos έγραψε:
Πέμ Αύγ 30, 2018 5:38 pm
Αν x,y,z μη αρνητικοί να αποδείξετε

(2x+y)(2z+x)(2y+z)(2x+z)(2y+x)(2z+y)\geq 8[(x+y)(y+z)(z+y)]^{2}
Για a,b μη αρνητικούς, έχουμε: (2a+b)(2b+a)=4ab+2a^2+2b^2+ab=2(a+b)^2+ab \geq 2(a+b)^2\geq 0

Οπότε: (2x+y)(2y+x) \geq 2(x+y)^2 \geq 0 , (2y+z)(2z+y) \geq 2(y+z)^2 \geq  0 και (2x+z)(2z+x) \geq  2(x+z)^2 \geq  0.

Πολλαπλασιάζοντας τις τρεις σχέσεις μεταξύ τους προκύπτει το ζητούμενο.

Re: Ανίσωση!!!

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Αύγ 30, 2018 6:12 pm
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Να υποθέσω πως είναι:

(2x+y)(2z+x)(2y+z)(2x+z)(2y+x)(2z+y)\geq 8[(x+y)(y+z)(z+x)]^{2}

Θα αποδείξουμε πως (2x+y)(2y+x)\geq 2(x+y)^2\Leftrightarrow 2x^2+2y^2+5xy\geq 2(x+y)^2\Leftrightarrow xy\geq 0 που ισχύει με ισότητα όταν αν ένας από τους x, z είναι 0.

Όμοια είναι (2z+x)(2x+z)\geq 2(z+x)^2 και (2y+z)(2z+y)\geq 2(y+z)^2 άρα πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη παίρνουμε την ζητούμενη ανισότητα.

Η ισότητα ισχύει αν xy=yz=zx=0 που για να ικανοποιείται αρκεί 2 από τους x, y, z να είναι ίσοι με 0.

Με πρόλαβαν!