Ανίσωση!!!

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Ανίσωση!!!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Πέμ Αύγ 30, 2018 5:38 pm

Αν x,y,z μη αρνητικοί να αποδείξετε

(2x+y)(2z+x)(2y+z)(2x+z)(2y+x)(2z+y)\geq 8[(x+y)(y+z)(z+y)]^{2}



Λέξεις Κλειδιά:
nikkru
Δημοσιεύσεις: 338
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Ανίσωση!!!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Πέμ Αύγ 30, 2018 6:10 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Πέμ Αύγ 30, 2018 5:38 pm
Αν x,y,z μη αρνητικοί να αποδείξετε

(2x+y)(2z+x)(2y+z)(2x+z)(2y+x)(2z+y)\geq 8[(x+y)(y+z)(z+y)]^{2}
Για a,b μη αρνητικούς, έχουμε: (2a+b)(2b+a)=4ab+2a^2+2b^2+ab=2(a+b)^2+ab \geq 2(a+b)^2\geq 0

Οπότε: (2x+y)(2y+x) \geq 2(x+y)^2 \geq 0 , (2y+z)(2z+y) \geq 2(y+z)^2 \geq  0 και (2x+z)(2z+x) \geq  2(x+z)^2 \geq  0.

Πολλαπλασιάζοντας τις τρεις σχέσεις μεταξύ τους προκύπτει το ζητούμενο.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 793
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Ανίσωση!!!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Αύγ 30, 2018 6:12 pm

Να υποθέσω πως είναι:

(2x+y)(2z+x)(2y+z)(2x+z)(2y+x)(2z+y)\geq 8[(x+y)(y+z)(z+x)]^{2}

Θα αποδείξουμε πως (2x+y)(2y+x)\geq 2(x+y)^2\Leftrightarrow 2x^2+2y^2+5xy\geq 2(x+y)^2\Leftrightarrow xy\geq 0 που ισχύει με ισότητα όταν αν ένας από τους x, z είναι 0.

Όμοια είναι (2z+x)(2x+z)\geq 2(z+x)^2 και (2y+z)(2z+y)\geq 2(y+z)^2 άρα πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη παίρνουμε την ζητούμενη ανισότητα.

Η ισότητα ισχύει αν xy=yz=zx=0 που για να ικανοποιείται αρκεί 2 από τους x, y, z να είναι ίσοι με 0.

Με πρόλαβαν!


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης