Ανίσωση 3

Xriiiiistos · #1

Αν $x\geq y,z$ θετικοί αριθμοί με x+y+z=2

να αποδείξετε

$\frac{2x^{2}+y^{2}+z^{2}}{(yz+1)^{3}}+\frac{2y^{2}+z^{2}+x^{2}}{(xz+1)^{3}}+\frac{2z^{2}+x^{2}+y^{2}}{(yx+1)^{3}}>\frac{2}{7}\sqrt[3]{\frac{4}{3}xyz(2-x)}$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Έχουμε πως $3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2=4\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq \dfrac{4}{3}$ .

Οπότε έχουμε $\dfrac{2x^2+y^2+z^2}{(yz+1)^3}\geq \dfrac{x^2+\dfrac{4}{3}}{(yz+1)^3}=\dfrac{x^5+\dfrac{4x^3}{3}}{(xyz+x)^3}$

Όμως επειδή $27xyz\leq (x+y+z)^3=8\Leftrightarrow xyz\leq \dfrac{8}{27}$ , έχουμε ότι $\dfrac{x^5+\dfrac{4x^3}{3}}{(xyz+x)^3}\geq \dfrac{x^5+\dfrac{4x^3}{3}}{(\dfrac{8}{27}+x)^3}$ .

Οπότε τελικά το αριστερό μέλος είναι μεγαλύτερο ή ίσο από $\dfrac{x^5+\dfrac{4x^3}{3}}{(\dfrac{8}{27}+x)^3}+\dfrac{y^5+\dfrac{4y^3}{3}}{(\dfrac{8}{27}+y)^3}+\dfrac{z^5+\dfrac{4z^3}{3}}{(\dfrac{8}{27}+z)^3}$

Όμως επειδή η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{x^5+\dfrac{4x^3}{3}}{(\dfrac{8}{27}+x)^3}$ είναι κυρτή στο (0, 2)

, έχουμε από Jensen

ότι:

$\dfrac{x^5+\dfrac{4x^3}{3}}{(\dfrac{8}{27}+x)^3}+\dfrac{y^5+\dfrac{4y^3}{3}}{(\dfrac{8}{27}+y)^3}+\dfrac{z^5+\dfrac{4z^3}{3}}{(\dfrac{8}{27}+z)^3}\geq 3\dfrac{(\dfrac{x+y+z}{3})^5+\dfrac{4(\dfrac{x+y+z}{3})^3}{3}}{(\dfrac{8}{27}+\dfrac{x+y+z}{3})^3}=...=\dfrac{3888}{2197}>1$

Από την άλλη έχουμε πως:

$\dfrac{2}{7}\sqrt[3]{\dfrac{4}{3}xyz(2-x)}\leq \dfrac{2}{7}\sqrt[3]{\dfrac{4}{3}\dfrac{8}{27}(2-\dfrac{2}{3})}$ , αφού $x\geq \dfrac{2}{3}$ .

Όμως $\dfrac{2}{7}\sqrt[3]{\dfrac{4}{3}\dfrac{8}{27}(2-\dfrac{2}{3})}=\dfrac{2}{7}\sqrt[3]{\dfrac{128}{243}}<1$ και το ζητούμενο έπεται.

Ανίσωση 3

Ανίσωση 3

Re: Ανίσωση 3

Μέλη σε σύνδεση