Σελίδα 1 από 1

Ανίσωση 3

Δημοσιεύτηκε: Τρί Οκτ 16, 2018 3:37 pm
από Xriiiiistos
Αν x\geq y,z θετικοί αριθμοί με x+y+z=2 να αποδείξετε

\frac{2x^{2}+y^{2}+z^{2}}{(yz+1)^{3}}+\frac{2y^{2}+z^{2}+x^{2}}{(xz+1)^{3}}+\frac{2z^{2}+x^{2}+y^{2}}{(yx+1)^{3}}>\frac{2}{7}\sqrt[3]{\frac{4}{3}xyz(2-x)}

Re: Ανίσωση 3

Δημοσιεύτηκε: Τρί Οκτ 16, 2018 5:31 pm
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Έχουμε πως 3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2=4\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq \dfrac{4}{3}.

Οπότε έχουμε \dfrac{2x^2+y^2+z^2}{(yz+1)^3}\geq \dfrac{x^2+\dfrac{4}{3}}{(yz+1)^3}=\dfrac{x^5+\dfrac{4x^3}{3}}{(xyz+x)^3}

Όμως επειδή 27xyz\leq (x+y+z)^3=8\Leftrightarrow xyz\leq \dfrac{8}{27}, έχουμε ότι \dfrac{x^5+\dfrac{4x^3}{3}}{(xyz+x)^3}\geq \dfrac{x^5+\dfrac{4x^3}{3}}{(\dfrac{8}{27}+x)^3}.

Οπότε τελικά το αριστερό μέλος είναι μεγαλύτερο ή ίσο από \dfrac{x^5+\dfrac{4x^3}{3}}{(\dfrac{8}{27}+x)^3}+\dfrac{y^5+\dfrac{4y^3}{3}}{(\dfrac{8}{27}+y)^3}+\dfrac{z^5+\dfrac{4z^3}{3}}{(\dfrac{8}{27}+z)^3}

Όμως επειδή η συνάρτηση f(x)=\dfrac{x^5+\dfrac{4x^3}{3}}{(\dfrac{8}{27}+x)^3} είναι κυρτή στο (0, 2), έχουμε από Jensen ότι:

\dfrac{x^5+\dfrac{4x^3}{3}}{(\dfrac{8}{27}+x)^3}+\dfrac{y^5+\dfrac{4y^3}{3}}{(\dfrac{8}{27}+y)^3}+\dfrac{z^5+\dfrac{4z^3}{3}}{(\dfrac{8}{27}+z)^3}\geq 3\dfrac{(\dfrac{x+y+z}{3})^5+\dfrac{4(\dfrac{x+y+z}{3})^3}{3}}{(\dfrac{8}{27}+\dfrac{x+y+z}{3})^3}=...=\dfrac{3888}{2197}>1

Από την άλλη έχουμε πως:

\dfrac{2}{7}\sqrt[3]{\dfrac{4}{3}xyz(2-x)}\leq \dfrac{2}{7}\sqrt[3]{\dfrac{4}{3}\dfrac{8}{27}(2-\dfrac{2}{3})}, αφού x\geq \dfrac{2}{3}.

Όμως \dfrac{2}{7}\sqrt[3]{\dfrac{4}{3}\dfrac{8}{27}(2-\dfrac{2}{3})}=\dfrac{2}{7}\sqrt[3]{\dfrac{128}{243}}<1 και το ζητούμενο έπεται.