Ανίσωση 4

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Ανίσωση 4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Τρί Νοέμ 27, 2018 5:04 pm

Δίνονται οι αριθμοί a,b,c\geq 0 ώστε (\sqrt{bc})^{3}=\frac{4}{a} και πραγματικός k\geq a+b+c. Να δείξετε ότι a+b+c+k\geq 9\sqrt[3]{bc\frac{k-a-b-c}{3}}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ανίσωση 4

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Νοέμ 29, 2018 6:02 pm

Αν δεν κάνω κάτι λάθος, η ανισότητα δεν ισχύει.

Παίρνω a = 4N^{-3},b=c=N και k = 4N + 4N^{-3} για κάποιο N που θα επιλέξω αργότερα. Τότε (\sqrt{bc})^3 = \frac{4}{a} και k > a+b+c. Επίσης

\displaystyle  k + a + b + c = 6N + 8N^{-3}

και

\displaystyle  9\sqrt[3]{bc \frac{k-a-b-c}{3}} = 9\sqrt[3]{N^2 \frac{2N}{3}} = 9\sqrt[3]{\frac{2}{3}}N

Τότε όμως είναι δεν ισχύει το ζητούμενο για N αρκετά μεγάλο. Π.χ. για N = 10 έχουμε k+a+b+c = 60.008 και \displaystyle 9\sqrt[3]{bc \frac{k-a-b-c}{3}} = 78.622\ldots.


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Ανίσωση 4

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Πέμ Νοέμ 29, 2018 10:45 pm

Έκανα λάθος στις πράξεις μου και νόμιζα ότι ήταν σωστό ζητάω συγγνώμη αν παίδεψα κάποιον


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Ανίσωση 4

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Τρί Δεκ 04, 2018 4:03 pm

Η άσκηση αυτήν την φορά είναι επιβεβαιωμένα σωστή

Δίνονται αριθμοί a,b,c\geq 0 ώστε a=\sqrt{bc} και k\geq a+b+c να δείξετε ότι

a+b+c+k\geq 9\sqrt[3]{\frac{k-a-b-c}{3}bc}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11289
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ανίσωση 4

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 04, 2018 6:20 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Τρί Δεκ 04, 2018 4:03 pm
Η άσκηση αυτήν την φορά είναι επιβεβαιωμένα σωστή

Δίνονται αριθμοί a,b,c\geq 0 ώστε a=\sqrt{bc} και k\geq a+b+c να δείξετε ότι

a+b+c+k\geq 9\sqrt[3]{\frac{k-a-b-c}{3}bc}
\displaystyle{a+b+c+k= 2a+ 2(b+c) +(k-a-b-c)  \ge 2\sqrt {bc} + 4 \sqrt {bc} +  (k-a-b-c) = 3\sqrt {bc} + 3 \sqrt {bc} +  (k-a-b-c) }

\displaystyle{ \ge 3 \sqrt [3]{ 3\sqrt {bc} \cdot  3 \sqrt {bc} \cdot   (k-a-b-c) } = 9\sqrt[3]{\frac{k-a-b-c}{3}bc}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης