Ένα άθροισμα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3955
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Ένα άθροισμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Νοέμ 27, 2018 9:08 pm

Δεν είμαι σίγουρος για το φάκελο....


Να υπολογιστεί το άθροισμα:

\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{k=1}^{60} \sum_{n=1}^{k} \frac{n^2}{61-2n}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ένα άθροισμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Νοέμ 27, 2018 10:13 pm

Έχουμε ένα όρο για κάθε ζεύγος ακεραίων (k,n) που ικανοποιεί 1 \leqslant n \leqslant k \leqslant 60

Αλλάζοντας την σειρά παίρνουμε:

\displaystyle  \begin{aligned}S &= \sum_{n=1}^{60} \sum_{k=n}^{60} \frac{n^2}{61-2n} \\ & 
= \sum_{n=1}^{60} \frac{n^2(61-n)}{61-2n} \\ 
&= \sum_{n=1}^{30} \frac{n^2(61-n)}{61-2n} + \sum_{n=31}^{60} \frac{n^2(61-n)}{61-2n}  \\ 
&= \sum_{n=1}^{30} \frac{n^2(61-n)}{61-2n} + \sum_{n=1}^{30} \frac{(61-n)^2n}{61-2(61-n)}  \\ 
&= \sum_{n=1}^{30} \frac{n^2(61-n)}{61-2n} - \sum_{n=1}^{30} \frac{(61-n)^2n}{61-2n}  \\ 
&= -\sum_{n=1}^{30} n(61-n)  \\ 
&= -\sum_{n=1}^{30} \frac{(n+(61-n))^2 - n^2 - (61-n)^2}{2} \\ 
&= -15 \cdot 61^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{60} n^2 \\ 
&= -15 \cdot 61^2 + \frac{60 \cdot 61 \cdot 121}{12} \\ 
&= 5 \cdot 61 (-3\cdot 61 + 121) \\ 
&= -5\cdot 61 \cdot 62 \\ 
& = -18910 
\end{aligned}


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3955
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Ένα άθροισμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Νοέμ 29, 2018 6:55 am

Στο ίδιο μήκος κύματος με το Δημήτρη....

\displaystyle{\begin{aligned} 
\sum_{k=1}^{60} \sum_{n=1}^{k} \frac{n^2}{61-2n} &=\sum_{n=1}^{60} \sum_{k=n}^{60} \frac{n^2}{61-2n} \\  
 &=\sum_{n=1}^{60} \frac{n^2 \left ( 61-n \right )}{61-2n} \\   
 &=\sum_{n=1}^{30} \left ( \frac{n^2 \left ( 61-n \right )}{61-2n} + \frac{\left ( 61-n \right )^2 \left ( 61-\left ( 61-n \right ) \right )}{61-2\left ( 61-n \right )} \right ) \\  
 &=\sum_{n=1}^{30}  \frac{n^2 \left ( 61-n \right ) - n \left ( 61-n \right )^2}{61-2n}\\  
 &=\sum_{n=1}^{30} \frac{n \left ( 61-n \right )\left ( n- \left ( 61-n \right ) \right )}{61-2n} \\  
 &=- \sum_{n=1}^{30} n \left ( 61-n \right ) \\  
 &= \sum_{n=1}^{30} \left ( n^2-61 n \right )  \\ 
 &= -18910 
\end{aligned}}
διότι

\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )}{6} \quad \text{\gr και} \quad \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης