Ανισότητα με λογάριθμο

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3955
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Ανισότητα με λογάριθμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Νοέμ 29, 2018 6:59 am

Ας είναι x_1, x_2, \dots, x_n, n \geq 2 θετικοί αριθμοί διαφορετικοί του 1 τέτοιοι ώστε x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2=n^3. Αποδείξατε ότι:


\displaystyle{\frac{\log_{x_1}^4 x_2}{x_1+x_2}+ \frac{\log_{x_2}^4 x_3}{x_2+x_3}+ \cdots + \frac{\log_{x_n}^4 x_1}{x_n+x_1} \geq \frac{1}{2}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6167
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ανισότητα με λογάριθμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Νοέμ 29, 2018 9:35 pm

Από την

\displaystyle{n\sum x_j ^2 \geq \left(\sum x_j\right)^2}

προκύπτει

\displaystyle{\sum x_j \leq n^2.} (\displaystyle{\color{red}\bigstar})

Από Cauchy-Schwarz και μετά ΑΜ-ΓΜ είναι

\displaystyle{\frac{\log_{x_1}^4 x_2}{x_1+x_2}+ \frac{\log_{x_2}^4 x_3}{x_2+x_3}+ \cdots + \frac{\log_{x_n}^4 x_1}{x_n+x_1} \geq \frac{\left(\sum \left(\frac{\ln x_{j+1}}{\ln x_j}\right)^2\right)^2}{2\sum x_j}\geq}

\displaystyle{\geq \frac{n^2}{2\sum x_j}\stackrel{\color{red}\bigstar}{\geq } \frac{1}{2}.}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3955
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Ανισότητα με λογάριθμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Δεκ 01, 2018 10:05 pm

Ευχαριστώ Θάνο. Δίδω και τη λύση που έχω δει:

\displaystyle{\begin{aligned} 
 \sum \frac{\log_{x_1}^4 x_2}{x_1+x_2} & \geq \frac{\left (\sum \log_{x_1}^2 x_2 \right )^2}{\sum (x_1+x_2)} \\  
&= \frac{\left ( \sum \log_{x_1}^2 x_2 \right )^2}{2\sum x_1} \\  
&\!\!\!\!\!\!\overset{\text{AM-GM}}{\geq } \frac{\left [ n \left (\prod \log_{x_1} x_2 \right )^{2/n} \right ]^2}{2\sum x_1} \\  
&\!\!\!\!\overset{\text{C-B-S}}{\geq } \frac{n^2}{2n^2} \\  
&= \frac{1}{2}  
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης