Πολυώνυμο δευτέρου βαθμού
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Δεκ 06, 2018 5:24 pm
Να εξετάσετε εάν υπάρχουν πολυώνυμα δευτέρου βαθμού και , έτσι ώστε οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί
https://www.mathematica.gr/forum/
https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=180&t=63256
[ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΣΩΣΤΗ Η ΛΥΣΗ ΜΟΥ, αλλά την αφήνω γιατί έχει ενδιαφέρον (νομίζω)...]Datis-Kalali έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 06, 2018 5:24 pmΝα εξετάσετε εάν υπάρχουν πολυώνυμα δευτέρου βαθμού και , έτσι ώστε οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί
Γιώργο, στην πραγματικότητα είσαι εντός φακέλου ακόμη και με χρήση του Rolle.
Μιχάλη πολύ ενδιαφέροντα όλα αυτά, σ' ευχαριστώ, όμως ... υπήρχε τελικά ένα μοιραίο λαθάκι στην λύση μου (βλ. παραπάνω)!Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Δεκ 08, 2018 12:39 amΓιώργο, στην πραγματικότητα είσαι εντός φακέλου ακόμη και με χρήση του Rolle.
Ένα ιστορικό σχόλιο εδώ: Όταν ο Rolle απέδειξε το διάσημο θεώρημά του, το έκανε ΜΟΝΟ για πολυώνυμα και η απόδειξή του ήταν αλγεβρική (και απλή, διδάξιμη σε μαθητές που δεν ξέρουν Απειροστικό). Την γενίκευση για παραγωγίσιμές συναρτήσεις την έκαναν άλλοι, αλλά έδωσαν το δικό του όνομα στην γενίκευση γιατί το Θεώρημά του (για πολυώνυμα) ήταν ευρύτατα γνωστό.
Η ειρωνεία είναι ότι όταν ο Rolle δημοσίευσε το Θεώρημά του, ο Απειροστικός ήταν νέος κλάδος που ο ίδιος ο Rolle τον μισούσε και πολεμούσε. Υπενθυμίζω ότι εκείνο τον καιρό οι αποδείξεις με Απειροστικό ήταν ασαφείς, με απειροστά που ήσαν και, συγχρόνως, δεν ήσαν μηδέν. Καλό παράδειγμα της κριτικής είναι αυτή του Berkley εναντίον του ίδιου του Νεύτωνα. Έτσι, ένα από τα πιο διάσημα Θεωρήματα του Απειροστικού (δεν) έγινε με Απειροστικό.
Βλέπω -- με το φως της ημέρας -- και άλλο λάθος στην χθεσινοβραδινή μου απόπειρα: η σωστή ισότητα είναιgbaloglou έγραψε: ↑Παρ Δεκ 07, 2018 11:54 pm[ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΣΩΣΤΗ Η ΛΥΣΗ ΜΟΥ, αλλά την αφήνω γιατί έχει ενδιαφέρον (νομίζω)...]Datis-Kalali έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 06, 2018 5:24 pmΝα εξετάσετε εάν υπάρχουν πολυώνυμα δευτέρου βαθμού και , έτσι ώστε οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί
OXI, δεν μπορούν να υπάρχουν τέτοια πολυώνυμα:
Θέτοντας , , , παρατηρούμε ότι το είναι το πολυώνυμο ογδόου βαθμού
Αν τώρα οι ήταν ρίζες αυτού του πολυωνύμου, τότε θα ίσχυε (από Vieta κλπ) η
... και, όπως η χθεσινή λύση του Δημήτρη υποδεικνύει, ανύπαρκτες: είχα εξ αρχής εσφαλμένη εποπτεία του προβλήματος, θεωρώντας ότι οκτώ πραγματικές/θετικές λύσεις θα ήταν πάρα πολλές, ενώ το εμπόδιο ήταν τελικά οι διαιρετότητες, 'ποιοτικό' και όχι 'ποσοτικό' το πρόβλημα λοιπόν!
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Δεκ 09, 2018 7:26 pmΕτσι η εξίσωση
έχει ρίζες τα
Αυτό όμως είναι ΑΤΟΠΟ(γιατί ; )