Χριστουγεννιάτικη

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 555
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Χριστουγεννιάτικη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Κυρ Δεκ 16, 2018 11:52 pm

Να βρεθούν όλες οι f: \mathbb{Z^{+}} \rightarrow \mathbb{Z^{+}} ώστε για κάθε ζεύγος θετικών ακεραίων να ισχύει ότι xf(x)+y|f(x)^2+f(y). Για μαθητές μέχρι την Τετάρτη.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 211
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Χριστουγεννιάτικη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Δευ Δεκ 17, 2018 3:34 pm

Αν βάλω όπου y το x προκύπτει x/f(x) για κάθε x.Έτσι,η g(x)=f(x)/x παίρνει θερινές ακέραιες τιμές.Αντικαθιστώντας στην αρχική,έχω x^2g(x)+y/x^2g(x)^2+yg(y) ή x^2g(x)+y/y(g(x)-g(y)).Αν τύχει και ισχύει x^2g(x)+y>y(g(x)-g(y)) και x^2g(x)+y>y(g(y)-g(x)) για κάποια x,y θα ισχύει απαραίτητα g(x)=g(y).Κρατώντας σταθερό το y,οι ανισότητες ισχύουν για αρκετά μεγάλα x(λόγω του ότι η g είναι κάτω φραγμένη)
,οπότε και για αρκετά μεγάλα x(συναληθεύοντας) θα ισχύει g(x)=g(1)=g(2)=.. και τελικά g(x)=c για κάθε x,δηλαδή f(x)=cx για κάθε x,που επαληθεύει..
τελευταία επεξεργασία από min## σε Δευ Δεκ 17, 2018 3:39 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 555
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Χριστουγεννιάτικη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Δευ Δεκ 17, 2018 3:39 pm

:coolspeak:


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 792
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Χριστουγεννιάτικη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Δευ Δεκ 17, 2018 3:55 pm

Θέτοντας x=y παίρνουμε ότι xf(x)+x|f(x)^2+f(x)\Leftrightarrow x(f(x)+1)|f(x)(f(x)+1)\Leftrightarrow x|f(x).

Έστω λοιπόν f(x)=g(x)\cdot x, όπου g(x) μια συνάρτηση από τους θετικούς ακεραίους στους θετικούς ακεραίους.

Θέτουμε στην αρχική y=1. Έχουμε ότι:

xf(x)+1|f(x)^2+f(1)\Leftrightarrow xf(x)+1|f(x)^2+f(1)-g(x)(xf(x)+1)\Leftrightarrow

\Leftrightarrow xf(x)+1|f(1)-g(x)\Leftrightarrow g(x)x^2+1|f(1)-g(x)

Παρατηρούμε πως πρέπει είτε f(1)=g(x), είτε |f(1)-g(x)|\geq g(x)x^2+1.

f(1)<g(x), για κάποιο x, τότε g(x)-f(1)\geq g(x)x^2+1\Leftrightarrow 0\geq g(x)(x^2-1)+f(1)+1, άτοπο, αφού g(x)>0, f(1)>0, χ^2\geq 1.

Έστω πως f(1)>g(x), για κάποιο x. Τότε θα έπρεπε f(1)-g(x)\geq g(x)x^2+1\Leftrightarrow f(1)\geq g(x)(x^2+1)+1.

Αυτό όμως δεν μπορεί να γίνεται για αρκετά μεγάλα x, καθώς το g(x)(x^2+1)+1 δεν φράζεται.

Συνεπώς για αρκετά μεγάλα x, είναι f(1)=g(x). Δηλαδή f(x)=cx, όπου c=f(1), για πολύ μεγάλα x.

Θέτουμε στην αρχική ένα μεγάλο x και έχουμε ότι:

cx^2+y|c^2x^2+g(y)y\Leftrightarrow cx^2+y|c^2x^2+g(y)y-c(cx^2+y)\Leftrightarrow cx^2+y|y(g(y)-c), για ένα μεγάλο x και για κάθε y.

Έστω g(y)\ne c.

Κρατώντας το y σταθερό και μεγιστοποιώντας το x παρατηρούμε πως πρέπει κάτι μη φραγμένο να διαιρεί κάτι πεπερασμένο και διάφορο του μηδενός, οπότε για κάποιο πάρα πολύ μεγάλο x έχουμε άτοπο. Συνεπώς g(x)=c και f(x)=cx για κάθε θετικό ακέραιο x, όπου c=f(1).

Edit: Με πρόλαβαν!


Houston, we have a problem!
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης