Διαίρεση πραγματικών

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Διαίρεση πραγματικών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Φεβ 21, 2019 4:48 pm

Αν p,q θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε ορίζουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του p με τον q ως τον μικρότερο μη αρνητικό πραγματικό αριθμό r ώστε ο αριθμός \frac{p-r}{q} να είναι ακέραιος.

Για ένα διατεταγμένο ζεύγος θετικών ακεραίων (a,b) ορίζουμε ως r_1,r_2 ως τα υπόλοιπα της διαίρεσης του a\sqrt{2} + b\sqrt{3} με τα \sqrt{2} και \sqrt{3} αντίστοιχα.

Να βρεθεί το πλήθος των διατεταγμένων ζευγων θετικών ακεραίων (a,b) με 1 \leqslant a,b\leqslant 20 ώστε r_1+r_2 = \sqrt{2}.



Λέξεις Κλειδιά:
harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Διαίρεση πραγματικών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Πέμ Φεβ 21, 2019 8:08 pm

Demetres έγραψε:
Πέμ Φεβ 21, 2019 4:48 pm
Αν p,q θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε ορίζουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του p με τον q ως τον μικρότερο μη αρνητικό πραγματικό αριθμό r ώστε ο αριθμός \frac{p-r}{q} να είναι ακέραιος.

Για ένα διατεταγμένο ζεύγος θετικών ακεραίων (a,b) ορίζουμε ως r_1,r_2 ως τα υπόλοιπα της διαίρεσης του a\sqrt{2} + b\sqrt{3} με τα \sqrt{2} και \sqrt{3} αντίστοιχα.

Να βρεθεί το πλήθος των διατεταγμένων ζευγων θετικών ακεραίων (a,b) με 1 \leqslant a,b\leqslant 20 ώστε r_1+r_2 = \sqrt{2}.
Μια προσπάθεια ελπίζω σωστή γιατί παραείναι απλή μου φαίνεται:
Η απάντηση είναι 16 διατεταγμένα ζεύγη. Για ευκολία [\cdot] το ακέραιο μέρος.

Έστω \dfrac{a\sqrt2+b\sqrt3-r_1}{\sqrt2}=k_1 άρα  k_1\sqrt2+r_1=a\sqrt2+b\sqrt3. Θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε τον ακέραιο k και ταυτόχρονα να ισχύει αφού r_1>0 και k_1<a+b\sqrt{\dfrac{3}{2}} συνεπώς k_1=a+[b\sqrt{\dfrac{3}{2}}] και άρα αντικαθιστώντας r_1=b\sqrt3-\sqrt2 [b\sqrt{\dfrac{3}{2}}]. Όμοια βρίσκουμε r_2=a\sqrt2-\sqrt3 [a\sqrt{\dfrac{2}{3}}].

Συνεπώς πρέπει b\sqrt3-\sqrt2 [b\sqrt{\dfrac{3}{2}}]+a\sqrt2-\sqrt3 [a\sqrt{\dfrac{2}{3}}]=\sqrt2 και διαιρώντας με \sqrt2 προκύπτει b=[a\sqrt{\dfrac{2}{3}}] οπότε αφού a\leq 20 είναι b\leq 16 και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8184
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Διαίρεση πραγματικών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Φεβ 22, 2019 9:47 am

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Πέμ Φεβ 21, 2019 8:08 pm
Συνεπώς πρέπει b\sqrt3-\sqrt2 [b\sqrt{\dfrac{3}{2}}]+a\sqrt2-\sqrt3 [a\sqrt{\dfrac{2}{3}}]=\sqrt2 και διαιρώντας με \sqrt2 προκύπτει b=[a\sqrt{\dfrac{2}{3}}]

Η τελική απάντηση είναι σωστή αλλά το b=\left[a\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right] όχι. Π.χ. για a=11 δίνει b=8 αλλά τότε η b\sqrt3-\sqrt2 \left[b\sqrt{\tfrac{3}{2}}\right]+a\sqrt2-\sqrt3 \left[a\sqrt{\tfrac{2}{3}}\right]=\sqrt2 δεν είναι σωστή αφού το αριστερό μέλος ισούται με 2\sqrt{2} και όχι με \sqrt{2}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης