Άπειρο άθροισμα

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8181
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Άπειρο άθροισμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Φεβ 22, 2019 10:00 am

Να υπολογιστεί η τιμή του

\displaystyle  \sum_{a=1}^{\infty}\sum_{b=1}^{\infty}\sum_{c=1}^{\infty} \frac{ab(3a+c)}{4^{a+b+c}(a+b)(b+c)(c+a)}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3948
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Άπειρο άθροισμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Φεβ 22, 2019 10:29 am

Demetres έγραψε:
Παρ Φεβ 22, 2019 10:00 am
Να υπολογιστεί η τιμή του

\displaystyle  \sum_{a=1}^{\infty}\sum_{b=1}^{\infty}\sum_{c=1}^{\infty} \frac{ab(3a+c)}{4^{a+b+c}(a+b)(b+c)(c+a)}
Γεια σου Δημήτρη,

τη βασική μόνο ιδέα. Αθροίζοντας πάνω από τις 6 μεταθέσεις των \alpha, \beta, \gamma έχουμε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
6 \sum_{\alpha=1}^{\infty} \sum_{\beta=1}^{\infty} \sum_{\gamma=1}^{\infty} \frac{\alpha \beta \left ( 3\alpha+\gamma \right )}{4^{\alpha +\beta + \gamma} \left ( \alpha+\beta \right )\left ( \beta+\gamma \right )\left ( \gamma+\alpha \right )} &= \sum_{\alpha=1}^{\infty} \sum_{\beta=1}^{\infty} \sum_{\gamma=1}^{\infty} \frac{3\left ( \alpha^2\beta + \alpha^2 \gamma +\beta^2 \alpha+\beta^2 \gamma+\gamma^2 \alpha+\gamma^2 \beta \right )+ 6 \alpha \beta \gamma}{4^{\alpha+\beta+ \gamma}\left ( \alpha+\beta \right )\left ( \beta+\gamma \right )\left ( \gamma+\alpha \right )} \\  
 &=\sum_{\alpha=1}^{\infty} \sum_{\beta=1}^{\infty} \sum_{\gamma=1}^{\infty} \frac{3}{4^{\alpha+\beta + \gamma}} \\  
 &= \cdots  
\end{aligned}}
διότι εύκολα διαπιστώνει κάποιος ότι \displaystyle{3\left ( \alpha^2\beta + \alpha^2 \gamma +\beta^2 \alpha+\beta^2 \gamma+\gamma^2 \alpha+\gamma^2 \beta \right )+ 6 \alpha \beta \gamma =3\alpha \beta \gamma}. ( αφήνεται ως απλή άσκηση στον αναγνώστη )

Αν και δεν είμαι fan των πολλαπλών σειρών , αυτή εδώ αποδείχθηκε εύκολη. Ομολογώ όμως ότι στην αρχή που την είδα σκέφτηκα να πάω με το γνωστό trick που κάνουμε στις διπλές που θέτουμε m+n =k και συνεχίζουμε αλλά γρήγορα εγκατέλειψα την ιδέα.

Υ.Σ: Τι είναι το HMMT ;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 347
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Άπειρο άθροισμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Παρ Φεβ 22, 2019 12:00 pm

Ο ΗΜΜΤ είναι ένας διαγωνισμός μαθηματικών που συνδιοργανώνουν το Ηarvard και το ΜΙΤ. Συμμετέχουν οι 900 καλύτεροι μαθητές λυκείου των ΗΠΑ. Για όλους τους υπόλοιπους που δεν μπορούμε να είμαστε εκει δίνει το δικαίωμα συμμετοχής μέσω ίντερνετ χωρίς όμως να δικαιούμαστε κάποιο βραβείο. Έχει 4 διαγωνίσματα που συμμετέχεις σε διαφορετικό πεδίο... Όπως άλγεβρα και θεωρία αριθμών.. γεωμετρία... Combinatorics. Τέτοια οργάνωση και τόσο καλή σχεδίαση εγώ προσωπικά δεν έχω ξαναδεί. Το εκάστοτε τεστ έχει 10 ερωτήσεις και πρέπει να απαντηθεί μόνο το αποτέλεσμα μέσα σε 50 λεπτά!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης