11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- polysot
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2583
- Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
- Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
- Επικοινωνία:
11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1
Πρόβλημα 1
α) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί ώστε . Να αποδειχθεί ότι:
.
β) Να βρεθούν όλες οι τετράδες πραγματικών αριθμών , ώστε για τις οποίες ισχύει η ισότητα στην προηγούμενη ανισότητα.
α) Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί ώστε . Να αποδειχθεί ότι:
.
β) Να βρεθούν όλες οι τετράδες πραγματικών αριθμών , ώστε για τις οποίες ισχύει η ισότητα στην προηγούμενη ανισότητα.
Σωτήρης Δ. Χασάπης
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: 11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1
Η ανίσωση είναι τέτοια ώστε δίχως βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θέσουμε και γράφεται
Αν τότε
An τότε (όπως και πάνω)
Υψώνοντας στον κύβο τις 2 πάνω παίρνουμε το ζητούμενο
An έχουν αντίθετους συντελεστές τότε η είναι αρνητικό που ισχύει όμως δεν θα έχουμε ισότητα
Re: 11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1
Διαφορετικά:
Υποθέτουμε ότι (μπορούμε πάντα να εναλλάξουμε τα και ).
Το τριώνυμο ως προς μεγιστοποιείται για .
Αν τότε το τριώνυμο ως προς μεγιστοποιείται για και έτσι το τριώνυμο ως προς μεγιστοποιείται για . Τέλος, το τριώνυμο ως προς μεγιστοποιείται για . Έτσι οδηγούμαστε στη λύση .
Από την περίπτωση και τις περιπτώσεις οδηγούμαστε στις κυκλικές εναλλαγές. Όλες έχουν άνω φράγμα .
Υποθέτουμε ότι (μπορούμε πάντα να εναλλάξουμε τα και ).
Το τριώνυμο ως προς μεγιστοποιείται για .
Αν τότε το τριώνυμο ως προς μεγιστοποιείται για και έτσι το τριώνυμο ως προς μεγιστοποιείται για . Τέλος, το τριώνυμο ως προς μεγιστοποιείται για . Έτσι οδηγούμαστε στη λύση .
Από την περίπτωση και τις περιπτώσεις οδηγούμαστε στις κυκλικές εναλλαγές. Όλες έχουν άνω φράγμα .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
- polysot
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2583
- Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
- Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
- Επικοινωνία:
Re: 11η Μαθηματική Ολυμπιάδα BENELUX 2019 Πρόβλημα 1
Και η αρχική μου λύση, παρόμοια με παραπάνω:
Το αριστερό μέλος της αρχικής γράφεται:
Αν άρα η ζητούμενη ισχύει, αφού θα είναι αρνητικός αριθμός.
Αν τότε θα είναι , αφού οπότε και πάλι θα ισχύει η ζητούμενη.
Το αριστερό μέλος της αρχικής γράφεται:
Αν άρα η ζητούμενη ισχύει, αφού θα είναι αρνητικός αριθμός.
Αν τότε θα είναι , αφού οπότε και πάλι θα ισχύει η ζητούμενη.
Σωτήρης Δ. Χασάπης
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες