Συναρτησιακή

JimNt. · #1

Να βρεθούν όλες οι $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ που ικανοποιούν την f(x+f(y))=f(x)+y^2

για κάθε ζεύγος πραγματικών (x,y)

.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Θέτοντας

, παίρνουμε ότι f(f(0))=f(0)

.

Θέτοντας y=0

και

και συγκρίνοντας τα δεύτερα μέλη έχουμε ότι $f(0)^2=0\Leftrightarrow f(0)=0$ .

Για x=0

έχουμε

, ενώ για

, έχουμε

, οπότε η

είναι επί.

Ακόμη, η σχέση που μας δίνεται γίνεται:

f(x+f(y))=f(x)+f(f(y))

και αφού

επί, προκύπτει ότι f(x+u)=f(x)+f(u)

, για κάθε

και

.

Ωστόσο, $f(f(x+w))=(x+w)^2\Leftrightarrow f(f(x)+f(w))=(x+w)^2\Leftrightarrow f(f(x))+f(f(w))=(x+w)^2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x^2+w^2=(x+w)^2$ , για κάθε x, w

άτοπο.

Άρα δεν έχουμε καμία λύση;!

christinat · #3

Αν

:

Αν

: $f(f(y))=y^{2}$

Αν x=-f(y)

τοτε

Από την τελευταία σχεση προκύπτει ότι f(ty)=yf(t)

,όπου

και y πραγματικός αριθμός

Θέτοντας f(-1)=a

παίρνουμε ότι f(y)=ay

για κάθε πραγματική τιμή του

Επίσης $f(f(y))=y^{2}=a(f(ay ))=a^{2}y$ (1)
f(f(y))=f(ay )=yf(a)

Οποτε $f(a)=a^{2}\Rightarrow a=\frac{f(a)}{a}\Rightarrow a=f(a)*\frac{1}{a}\Rightarrow a=f(1)$ (2)

Αν x=y

τοτε από την συναρτησιακη έχουμε $f(x+f(x))=f(x)+x^{2}\Rightarrow a(x+f(x))=f(x)+x^{2}\Rightarrow x^{2}=af(x)\Rightarrow f(x)=x^{2}*\frac{1}{f(1)}$ (3)για ολους τους πραγματικούς x,y

Λόγω της (1): f(f(1))=1

ή

Άρα

ή

Από

και από την σχεση (3) λαμβάνουμε τις περιπτώσεις: $f(x)=x^{2}$ ή $f(x)=-x^{2}$ ή f(x)=x

ή

Κάνοντας αντικατάσταση στην συναρτησιακη για καθεμία από τις παραπάνω περιπτώσεις προκύπτει αντίστοιχα
f(x)=x

,άτοπο γιατί $f(x)=x^{2}$
f(x)=-x

,άτοπο αφού $f(x)=-x^{2}$
$f(y)=y^{2}$ ,άτοπο αφού f(x)=x

$f(y)=-y^{2}$ ,άτοπο

Όλα τα παραπάνω ισχύουν μόνο όταν x=y=0

ή

και η συναρτησιακη επαληθεύεται μόνο για αυτες τις τιμές

Σε κάθε άλλη περίπτωση δεν έχουμε λυση

Συναρτησιακή

Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση