Συναρτησιακή

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 555
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Συναρτησιακή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Δευ Μάιος 27, 2019 10:50 am

Να βρεθούν όλες οι f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} που ικανοποιούν την f(x+f(y))=f(x)+y^2 για κάθε ζεύγος πραγματικών (x,y).


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.

If you are not sure it is magic then it probably is.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 792
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Συναρτησιακή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Δευ Μάιος 27, 2019 12:13 pm

Θέτοντας x=y=0, παίρνουμε ότι f(f(0))=f(0).

Θέτοντας y=0 και y=f(0) και συγκρίνοντας τα δεύτερα μέλη έχουμε ότι f(0)^2=0\Leftrightarrow f(0)=0.

Για x=0 έχουμε f(f(y))=y^2, ενώ για x=-f(y), έχουμε f(-f(y))=-y^2, οπότε η f είναι επί.

Ακόμη, η σχέση που μας δίνεται γίνεται:

f(x+f(y))=f(x)+f(f(y)) και αφού f επί, προκύπτει ότι f(x+u)=f(x)+f(u), για κάθε x και u.

Ωστόσο, f(f(x+w))=(x+w)^2\Leftrightarrow f(f(x)+f(w))=(x+w)^2\Leftrightarrow f(f(x))+f(f(w))=(x+w)^2\Leftrightarrow

\Leftrightarrow x^2+w^2=(x+w)^2, για κάθε x, w άτοπο.

Άρα δεν έχουμε καμία λύση;!


Houston, we have a problem!
christinat
Δημοσιεύσεις: 37
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 23, 2018 11:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Συναρτησιακή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από christinat » Δευ Μάιος 27, 2019 6:40 pm

Αν y=0:f(0)=0
Αν x=0:f(f(y))=y^{2}

Αν x=-f(y) τοτε -f(f(y))=f(-f(y))

Από την τελευταία σχεση προκύπτει ότι f(ty)=yf(t),όπου t=-1 και y πραγματικός αριθμός

Θέτοντας f(-1)=a παίρνουμε ότι f(y)=ay για κάθε πραγματική τιμή του y

Επίσης f(f(y))=y^{2}=a(f(ay ))=a^{2}y(1)
f(f(y))=f(ay )=yf(a)

Οποτε f(a)=a^{2}\Rightarrow a=\frac{f(a)}{a}\Rightarrow a=f(a)*\frac{1}{a}\Rightarrow a=f(1)(2)

Αν x=y τοτε από την συναρτησιακη έχουμε f(x+f(x))=f(x)+x^{2}\Rightarrow a(x+f(x))=f(x)+x^{2}\Rightarrow x^{2}=af(x)\Rightarrow f(x)=x^{2}*\frac{1}{f(1)} (3)για ολους τους πραγματικούς x,y

Λόγω της (1):f(f(1))=1 ή f(f(-1))=1
Άρα a=1 ή a=-1

Από f(x)=ax και από την σχεση (3) λαμβάνουμε τις περιπτώσεις:f(x)=x^{2} ή f(x)=-x^{2} ή f(x)=x ή f(x)=-x

Κάνοντας αντικατάσταση στην συναρτησιακη για καθεμία από τις παραπάνω περιπτώσεις προκύπτει αντίστοιχα
f(x)=x,άτοπο γιατί f(x)=x^{2}
f(x)=-x,άτοπο αφού f(x)=-x^{2}
f(y)=y^{2},άτοπο αφού f(x)=x
f(y)=-y^{2},άτοπο

Όλα τα παραπάνω ισχύουν μόνο όταν x=y=0
ή x=y=1 και η συναρτησιακη επαληθεύεται μόνο για αυτες τις τιμές

Σε κάθε άλλη περίπτωση δεν έχουμε λυση


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης