Και εκθετική ανίσωση

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 201
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Και εκθετική ανίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Παρ Ιούλ 19, 2019 7:36 pm

Για τους θετικούς a\geq b,c να αποδειχθεί

(a+b)^{b}+(a+c)^{c}\geq 2a\sqrt{\dfrac{b^{b}c^{c}}{(a+b)(a+c)}}+4\sqrt{\dfrac{a\cdot b^{b+1}c^{c+1}}{(a+b)(a+c)}}

και να εξεταστεί αν χρειάζεται η ισότητα.
τελευταία επεξεργασία από Xriiiiistos σε Σάβ Ιαν 18, 2020 1:49 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 201
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Και εκθετική ανίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Τετ Ιαν 08, 2020 11:47 pm

Επαναφορά, αν δεν δημοσιευθεί λύση σε λίγες μέρες θα την ανεβάσω εγώ το a\geq b,c
δεν χρειάζεται (ολά χρειάζεται ότι είναι θετικοί)


Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 201
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Και εκθετική ανίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Σάβ Ιαν 18, 2020 1:49 pm

Το θέμα που εμπεύστηκε η άσκηση
βιβλίο μαθηματικοί διαγωνισμοί 2 σελ 20 εφαρμογή 4
Η λύση
(a+b)^{b}=\frac{(a+b)^{b+1}}{a+b}=(\frac{a}{b}+1)^{b+1}\frac{b^{b+1}}{a+b}\geq (\frac{a}{b}(b+1)+1)\frac{b^{b+1}}{a+b}
=a\frac{b^{b}}{a+b}+a\frac{b^{b+1}}{a+b}+\frac{b^{b+1}}{a+b}
στην ανίσωση χρεισιμοποιήθηκε η ανισώτητα Bernoulli οπότε ισχύει

LHS\geq \left [a\frac{b^{b}}{a+b}+a\frac{c^{c}}{a+c} \right ]+\left [a\frac{b^{b+1}}{a+b}+a\frac{c^{c+1}}{a+c}+\frac{b^{b+1}}{a+b}+\frac{c^{c+1}}{a+c} \right ]
Aπό ΑΜ-ΓΜ στους 2 πρώτους και στους επόμενους τέσσερις έχουμε το ζητούμενο, η ισότητα δεν ισχύει ποτέ

Η άσκηση μπήκε σε αυτό το φάκελο επειδή οι εκθέτες b+1,c+1 σε οδηγούν να πάρεις bernoulli
to edit στην πρώτη δημοσίευση έγινε καταλάθος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης