Κυκλική ανισότητα!

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1454
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Κυκλική ανισότητα!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Αύγ 08, 2019 12:13 am

Μία ιδιοκατασκευή :

Αν a,b,c>0 με a+b+c=3, να αποδείξετε ότι a^5b^3c^2+b^5c^3a^2+c^5a^3b^2 \leqslant 3.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 211
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Κυκλική ανισότητα!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Πέμ Αύγ 08, 2019 2:15 am

Καλησπέρα.
Από Vasc ( :lol: ) είναι LHS=a^2b^2c^2(a^3b+b^3c+c^3a)\leq \frac{a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)^2}{3} και συνεπώς αρκεί (a^2+b^2+c^2)abc\leq 3=\frac{(a+b+c)^5}{3^4}.Είναι απλό ότι ανf(a,b,c)=(a+b+c)^5-3^4\cdot abc(a^2+b^2+c^2),θα ισχύει (Mixing (γίνεται και πιο σύντομα αλλά αυτό μου 'ρθε πρώτα )) πως f(a,b,c)\geq f(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2}) (καταλήγει στην \frac{(b-c)^2(2a^2+(b-c)^2))}{8}\geq 0) οπότε αρκεί να δειχτεί πως f(a,t,t)\geq 0 ή ((3-2t)^2+2t^2)(3-2t)t^2\leq 3 το οποίο ανάγεται σε
3(t-1)^2(4t^3-6t^2+2t+1)\geq 0 που ισχύει αφού 4t^3-6t^2+2t+1= 2t^3+2(t^3+t)-6t^2+1\geq 2t^3-2t^2+1\geq t^2 από AM-GM


harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Κυκλική ανισότητα!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Πέμ Αύγ 08, 2019 12:36 pm

Ας δούμε και την ακολουθη γενίκευση:

Αν a,b,c πραγματικοί με a+b+c=3 και abc\geq -\dfrac {1}{2}, να αποδείξετε ότι
a^5b^3c^2+b^5c^3a^2+c^5a^3b^2 \leq 3

Edit: Διαγράφηκε λανθασμένη λύση.
τελευταία επεξεργασία από harrisp σε Πέμ Αύγ 08, 2019 4:59 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2505
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Κυκλική ανισότητα!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Αύγ 08, 2019 1:08 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Πέμ Αύγ 08, 2019 12:36 pm
Καλησπέρα σε όλους!

Είναι από την συνθήκη abc\leq 1 και 2a^5b^3c^2=2(a^3b^3)(a^2c^2)\leq a^6b^6+a^4c^4 από την 2xy\leq x^2+y^2.

Συνεπώς αρκεί
\sum_{cyc} (a^6b^6+a^4c^4) \leq 6 που είναι προφανής από ΑΜ-ΓΜ και χρήση της abc\leq 1
Η
\sum_{cyc} (a^6b^6+a^4c^4) \leq 6
δεν ισχύει.
Πάρε a=1,9,b=1,c=0,1
Μάλλον μπερδεύτηκες.
Η ανάποδη ισχύει .


harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Κυκλική ανισότητα!

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Πέμ Αύγ 08, 2019 5:01 pm

Πρόσθεσα στο πάνω post μου μια γενίκευση (ελπίζω σωστή) της κατασκευής του Ορέστη.


harrisp
Δημοσιεύσεις: 536
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Κυκλική ανισότητα!

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Παρ Αύγ 23, 2019 3:47 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Πέμ Αύγ 08, 2019 12:36 pm
Ας δούμε και την ακολουθη γενίκευση:

Αν a,b,c πραγματικοί με a+b+c=3 και abc\geq -\dfrac {1}{2}, να αποδείξετε ότι
a^5b^3c^2+b^5c^3a^2+c^5a^3b^2 \leq 3

Edit: Διαγράφηκε λανθασμένη λύση.
Επαναφορά!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης