Εξίσωση και σημείο

Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9379
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Εξίσωση και σημείο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 16, 2019 8:06 pm

A) a. Να δείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle {x^3} - 27x - 62 = 0 έχει μοναδική πραγματική ρίζα.

b. Εξετάστε αν η ρίζα αυτή είναι η \displaystyle x = \sqrt[3]{{31 + 2\sqrt {58} }} + \sqrt[3]{{31 - 2\sqrt {58} }}

B) Δίνονται τα σημεία A(2,0), B(3,0).
Εξίσωση και σημείο.png
Εξίσωση και σημείο.png (9.28 KiB) Προβλήθηκε 370 φορές
Θεωρούμε σημείο M του ημιάξονα OY, τέτοιο ώστε M\widehat BA=3B\widehat MA. Να υπολογίσετε το μήκος του OM. (Απαγορεύεται η χρήση λογισμικού).


Η άσκηση μπήκε σε αυτό το φάκελο, ελλείψει ενός φακέλου Γενικά-Επίπεδο Αρχιμήδη Seniors



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3075
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εξίσωση και σημείο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 16, 2019 10:07 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Νοέμ 16, 2019 8:06 pm
A) a. Να δείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle {x^3} - 27x + 62 = 0 έχει μοναδική πραγματική ρίζα.

b. Εξετάστε αν η ρίζα αυτή είναι η \displaystyle x = \sqrt[3]{{31 + 2\sqrt {58} }} + \sqrt[3]{{31 - 2\sqrt {58} }}

B) Δίνονται τα σημεία A(2,0), B(3,0). Εξίσωση και σημείο.png
Θεωρούμε σημείο M του ημιάξονα OY, τέτοιο ώστε M\widehat BA=3B\widehat MA. Να υπολογίσετε το μήκος του OM. (Απαγορεύεται η χρήση λογισμικού).


Η άσκηση μπήκε σε αυτό το φάκελο, ελλείψει ενός φακέλου Γενικά-Επίπεδο Αρχιμήδη Seniors
Για το Α.
α)Θέτουμε
\displaystyle f(x)= {x^3} - 27x + 62
Είναι
\displaystyle \frac{f(x)-f(3)}{x-3}=x^{2}+3x-18,x\neq 3

Eτσι για x>3 και 0<x<3 είναι f(x)>f(3)>0

Αρα η εξίσωση δεν έχει μη αρνητική ρίζα.

Αν είχε τρείς πραγματικές ρίζες θα είχαμε άτοπο από την

r_{1}r_{2}+r_{3}r_{2}+r_{1}r_{3}=-27

Αφού είναι πολυώνυμο τρίτου βαθμού έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα.

Αρα έχει ακριβώς μια ρίζα η οποία είναι αρνητική.

b.Προφανώς δεν είναι ρίζα αφού είναι θετικός αριθμός.
(Γιώργο μάλλον θα έχεις τυπογραφικό)

Σημείωση.Το α) θα μπορούσε να προκύψει και ως εξής.
Είναι f'(x)=3x^{2}-27=3(x-3)(x+3)
Αφού f(3)f(-3)> 0
η f(x)=0 εχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα.
(γιατί ; )


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7214
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εξίσωση και σημείο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Νοέμ 16, 2019 10:10 pm

Α

Έχω : {x^3} - 27x - 62 = 0\,\,\,(1) θέτω : \boxed{x = y + \frac{9}{y}}\,\,\,\left( {{M_1}} \right) και προκύπτει:

{y^6} - 62{y^3} + 729 = 0\,\,(2) που είναι δευτέρου βαθμού ως προς \boxed{t = {y^3}}\left( {{M_2}} \right)

και βρίσκω: \left\{ \begin{gathered} 
  t = 31 - 2\sqrt {58}  \hfill \\ 
  t = 31 + 2\sqrt {58}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. . Λόγω του μετασχηματισμού \left( {{M_2}} \right) προκύπτει :

{y^3} = 31 - 2\sqrt {58}  > 0 ή {y^3} = 31 + 2\sqrt {58}  > 0 (διώνυμες) και έχω από μια

Θετική πραγματική ρίζα

Που όμως λόγω του μετασχηματισμού \left( {{M_1}} \right) έχω :

μια μόνο θετική πραγματική ρίζα την: x = \sqrt[3]{{31 - 2\sqrt {58} }} + \sqrt[3]{{31 + 2\sqrt {58} }}

Παρατήρηση :

Είναι γνωστό ότι αν η (2) είχε αρνητική διακρίνουσα η αρχική θα είχε 3 πραγματικές που βρίσκονται με τη βοήθεια μιγαδικών.

Ενώ όπως στη συγκεκριμένη περίπτωση που η διακρίνουσα της (2) είναι θετική έχουμε μια μόνο πραγματική και δύο συζυγείς μιγαδικές
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Σάβ Νοέμ 16, 2019 10:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3075
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εξίσωση και σημείο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Νοέμ 16, 2019 10:18 pm

Δεν κατάλαβα πώς το + έγινε - χωρίς να φαίνεται η διόρθωση.
Ετσι όπως είναι φαίνεται ότι δεν ξέρω τι μου γίνεται και αλλάζω σκόπιμα τις εκφωνήσεις.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9379
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εξίσωση και σημείο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 16, 2019 11:33 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Σάβ Νοέμ 16, 2019 10:18 pm
Δεν κατάλαβα πώς το + έγινε - χωρίς να φαίνεται η διόρθωση.
Ετσι όπως είναι φαίνεται ότι δεν ξέρω τι μου γίνεται και αλλάζω σκόπιμα τις εκφωνήσεις.
Σταύρο, μια χαρά ξέρεις τι σου γίνεται. Ο Νίκος με ενημέρωσε για το τυπογραφικό και προφανώς το διόρθωσα την ώρα που εσύ πληκτρολογούσες, γιατί όταν τελείωσα με τη διόρθωση, δεν είχε ακόμα ανέβει η ανάρτησή σου. Έτσι φαντάστηκα ότι δεν το είχε προσέξει κάποιος άλλος εκτός απ' τον Νίκο. Ζητώ συγνώμη απ' όλους όσους ταλαιπώρησα :oops:


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12251
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εξίσωση και σημείο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Νοέμ 16, 2019 11:54 pm

Από σύμπτωση η f(x)=x^3-27x+62 και η g(x)=x^3-27x-62 συνδέονται ως g(-x)=-f(x) (ισοδύναμα g(x)=-f(-x)), οπότε ό,τι κάνεις για την μια περνάει αυτόματα ως ιδιότητα στην άλλη.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7214
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εξίσωση και σημείο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Νοέμ 17, 2019 1:01 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Νοέμ 16, 2019 8:06 pm
A) a. Να δείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle {x^3} - 27x - 62 = 0 έχει μοναδική πραγματική ρίζα.

b. Εξετάστε αν η ρίζα αυτή είναι η \displaystyle x = \sqrt[3]{{31 + 2\sqrt {58} }} + \sqrt[3]{{31 - 2\sqrt {58} }}

B) Δίνονται τα σημεία A(2,0), B(3,0). Εξίσωση και σημείο.png
Θεωρούμε σημείο M του ημιάξονα OY, τέτοιο ώστε M\widehat BA=3B\widehat MA. Να υπολογίσετε το μήκος του OM. (Απαγορεύεται η χρήση λογισμικού).


Η άσκηση μπήκε σε αυτό το φάκελο, ελλείψει ενός φακέλου Γενικά-Επίπεδο Αρχιμήδη Seniors
A

Έχω : {x^3} - 27x - 62 = 0\,\,\,(1) θέτω : \boxed{x = y + \frac{9}{y}}\,\,\,\left( {{M_1}} \right) και προκύπτει:

{y^6} - 62{y^3} + 729 = 0\,\,(2) που είναι δευτέρου βαθμού ως προς \boxed{t = {y^3}}\left( {{M_2}} \right)

και βρίσκω: \left\{ \begin{gathered} 
  t = 31 - 2\sqrt {58}  \hfill \\ 
  t = 31 + 2\sqrt {58}  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. . Λόγω του μετασχηματισμού \left( {{M_2}} \right) προκύπτει :

{y^3} = 31 - 2\sqrt {58}  > 0 ή {y^3} = 31 + 2\sqrt {58}  > 0 (διώνυμες) και έχω από μια

Θετική πραγματική ρίζα

Που όμως λόγω του μετασχηματισμού \left( {{M_1}} \right) έχω :

μια μόνο θετική πραγματική ρίζα την: x = \sqrt[3]{{31 - 2\sqrt {58} }} + \sqrt[3]{{31 + 2\sqrt {58} }}

B
Θέτω: OM = m.

Επειδή \left\{ \begin{gathered} 
  3\theta  = 4\theta  - \theta  \Rightarrow \tan 3\theta  = \frac{{\tan 4\theta  - \tan \theta }}{{1 + \tan 4\theta \tan \theta }} \hfill \\ 
  \tan 3\theta  = \frac{m}{3} \hfill \\ 
  \tan 4\theta  = \frac{m}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Άρα : \boxed{\tan \theta  = \frac{m}{{{m^2} + 6}}}

Αλλά \tan 3\theta  = \dfrac{{\tan \theta (3 - {{\tan }^2}\theta )}}{{1 - 3{{\tan }^2}\theta }} οπότε καταλήγω στην εξίσωση :

Εξίσωση και σημείο_ok.png
Εξίσωση και σημείο_ok.png (12.64 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  {m^2} = t \hfill \\ 
  {t^3} + 6{t^2} - 15t - 108 = 0 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Κάνω το μετασχηματισμό \boxed{t = x - 2} και προκύπτει : \boxed{{x^3} - 27x - 62 = 0}

Αλλά η ρίζα της πιο πάνω εξίσωσης είναι γνωστή, ας την πούμε : \boxed{r = {x_0}}

( έχει υπολογιστεί πιο πάνω αλλά έχει δοθεί και στην εκφώνηση )

Συνεπώς βρίσκουμε διαδοχικά : t,{m^2} άρα και το m = \sqrt {r - 2}  \approx 2,024025018


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες