Ανισότητα!
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Ανισότητα!
Ένα από τα θέματα του διαγωνισμού ΑPMO (Asian Pacific Math. Olympiad) του 2004 είναι το κλασικό πλέον
για κάθε
Ας αποδείξουμε το ισχυρότερο
για κάθε
για κάθε
Ας αποδείξουμε το ισχυρότερο
για κάθε
Μάγκος Θάνος
Λέξεις Κλειδιά:
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Ανισότητα!
Γεια σου Θάνο και χρόνια σου πολλά!
Είναι:
Χρησιμοποιώντας τις ανισότητες
και (από την ανισότητα Cauchy-Schwarz)
βρίσκουμε ότι
Χρησιμοποιώντας ξανά την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε ότι
που είναι η αποδεικτέα ανισότητα.
Είναι:
Χρησιμοποιώντας τις ανισότητες
και (από την ανισότητα Cauchy-Schwarz)
βρίσκουμε ότι
Χρησιμοποιώντας ξανά την ανισότητα Cauchy-Schwarz έχουμε ότι
που είναι η αποδεικτέα ανισότητα.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ανισότητα!
Η βασική παρατήρηση είναι ότι αν ισχύει για μη αρνητικά τότε ισχύει για όλα(γιατί ; )
Την θεωρούμε σαν τριώνυμο του .
Η διακρίνουσα θα είναι και οφείλει να είναι μη θετική.
Αλλα αν την γράψουμε κάτω είναι τριώνυμο ως προς .
Η διακρίνουσα του νέου τριωνύμου είναι μη θετική και η ανισότητα έπεται.
(εχω παραλείψει λεπτομέρειες π.χ το πρόσημο των μεγιστοβαθμίων όρων αλλά είναι τετριμμένο να δούμε το πρόσημο τους)
συμπλήρωμα.(γράφω λίγο πιο αναλυτικά τα παραπάνω)
Αν θεωρήσουμε την ανισότητα σαν τριώνυμο του τότε ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής είναι
Η διακρίνουσα είναι
για να είναι μη θετική θέλουμε
Αν το θεωρήσουμε σαν τριώνυμο του
τότε ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής είναι
και η διακρίνουσα
μη θετική
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες