Εύρεση σταθεράς

#1

Να βρεθούν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί $c\in \mathbb{R}$ για τους οποίους υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε

$\displaystyle f(f(x)+f(y))+cxy=f(x+y)$

για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Xriiiiistos · #2

achilleas έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 27, 2020 10:13 pm
Να βρεθούν όλοι οι πραγματικοί αριθμοί $c\in \mathbb{R}$ για τους οποίους υπάρχει συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ τέτοια ώστε

$\displaystyle f(f(x)+f(y))+cxy=f(x+y)$

για κάθε $x,y\in\mathbb{R}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Μια προσπάθεια και ελπίζω να μην υπάρχει πρόβλημα στην λύση, P(x,y) η σχέση και f(0)=a

Αν c=0 τότε $f\equiv h$ , όπου h σταθερός επαληθεύει την σχέση έστω $c\neq 0$
P(0,0):f(2a)=a

$P(f(x)+f(y),0):f(f(f(x)+f(y))+a)=f(f(x)+f(y))\Leftrightarrow$
f(f(x+y)-cxy+a)=f(x+y)-cxy

όπου y το

$f(cx^{2}-2acx+2a)=cx^{2}-2acx+a$ , έστω z το σύνολο τιμών της $g(x)=cx^{2}-2acx+2a$ τότε f(z)=z-a

τώρα μπορώ να διαλέξω τέτοιο $p\in z$ ώστε $2p-2a,2p\in z$ τα οποία είναι άπειρα. Αυτό ισχύει επειδή το σύνολο τιμών της g(x) τείνει στο $+\propto ,-\propto$ για μεγάλα p, επιπλέον g συνεχής. Έτσι θα πάρουμε αρκετά μεγάλο p ώστε να έχει τις ιδιότητες που θέλουμε.

$P(p,p):f(2p-2a)+cp^{2}=f(2p)\Rightarrow 2p-2a-a+cp^2=2p-a\Leftrightarrow 2a=cp^{2}$
a,c σταθερά όμως υπάρχουν άπειρα p που πρέπει να την επαληθεύουν άτοπο άρα c=0 μοναδικό c

Εύρεση σταθεράς

Εύρεση σταθεράς

Re: Εύρεση σταθεράς

Μέλη σε σύνδεση