Ανισότητα με n μεταβλητές

#1

Έστω $n \in \mathbb{N}$ με $n \geqslant 3$ και $1<a_1 \leqslant a_2 \leqslant a_3 \leqslant \cdots \leqslant a_n$ πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n = 2n$ .

Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle a_1a_2 \cdots a_{n-1} +a_1a_2 \cdots a_{n-2} + \cdots + a_1a_2 +a_1 + 2 \leqslant a_1a_2 \cdots a_n.$

#2

Και όμως ισχύει ΚΑΙ για n=2

, και μάλιστα η περίπτωση αυτή ουσιαστικά επιλύει το πρόβλημα (ένεκα μαθηματικής επαγωγής)!

Για n=2

λοιπόν η πρόταση είναι: αν $1<a_1\leq a_2$ και a_1+a_2=4

τότε $a_1+2\leq a_1a_2$ .

Πράγματι, αντικαθιστώντας την a_2=4-a_1

στην $a_1+2\leq a_1a_2$ λαμβάνουμε την $(a_1-1)(a_1-2)\leq 0$ , που ισχύει. (Αν a_1>2

τότε

, ενώ η $a_1\geq 1$ είναι δεδομένη.)

Για το βήμα της μαθηματικής επαγωγής τώρα, θεωρούμε

$1<a_1\leq a_2\leq ... \leq a_{k-1} \leq a_k \leq a_{k+1}$ με $a_1+a_2+...+a_{k-1}+a_k+a_{k+1}=2(k+1)$ ,

και θέτουμε $a_{k+1}=x+2$ , $x\geq 0$ . Παρατηρούμε ότι ισχύουν οι

$1<a_1\leq a_2\leq ... \leq a_{k-1} \leq (a_k+x)$ και $a_1+a_2+...+a_{k-1}+(a_k+x)=2k$ ,

άρα (υπόθεση μαθηματικής επαγωγής) ισχύει και η

$a_1a_2...a_{k-1}+...+a_1a_2+a_1+2\leq a_1a_2...a_{k-1}(a_k+x).$ (*)

Για να ολοκληρωθεί το βήμα της μαθηματικής επαγωγής χρειαζόμαστε την ισχύ της

$a_1a_2...a_{k-1}a_k+a_1a_2...a_{k-1}+...+a_1a_2+a_1+2\leq a_1a_2...a_{k-1}a_ka_{k+1},$

θέλουμε δηλαδή να ισχύει η ανισότητα

$a_1a_2...a_{k-1}a_k+a_1a_2...a_{k-1}+...+a_1a_2+a_1+2\leq a_1a_2...a_{k-1}a_k(x+2).$ (**)

Εν όψει της ισχύος της (*) η ισχύς της (**) ανάγεται στην ισχύ της $a_k+(a_k+x)\leq a_k(x+2)$ , που είναι προφανής.

[Το έγραψα αναλυτικότερα ίσως απ' ότι χρειάζεται, κυρίως για να είμαστε σίγουροι ότι δεν υπάρχει λάθος.]

#3

Ευχαριστώ για τη λύση Γιώργο (δεν πρόσεξα ότι η ανισότητα ισχύει και για n=2

...).

Μια άλλη λύση είναι η ακόλουθη:

Για $i \in \{1, 2, \ldots , n\}$ θέτουμε $x_i = a_1a_2 \cdots a_i$ . Με εφαρμογή της ανισότητας Chebyshev για τις όμοια διατεταγμένες

-άδες

$\displaystyle{1 < x_1 < x_2 < \cdots <x_{n-1}}$

και

$\displaystyle{ a_1 \leqslant a_2 \leqslant a_3 \leqslant \cdots \leqslant a_n}$

προκύπτει ότι:

$\displaystyle{x_{n-1}a_n+\cdots +x_2a_3+x_1a_2+a_1 \geqslant \frac{1}{n}\left( 1+x_1+\cdots +x_{n-1} \right) \left( a_1+a_2+\cdots +a_n \right) \Longrightarrow }$

$\displaystyle{\Longrightarrow x_n+\cdots +x_3+x_2+x_1\geqslant 2\left( 1+x_1+\cdots +x_{n-1} \right) \Longrightarrow }$

$\displaystyle{\Longrightarrow x_n\geqslant 2+x_1+\cdots +x_{n-1},}$

που είναι η αποδεικτέα ανισότητα. Το ίσον ισχύει αν και μόνο αν $a_1 = a_2 = a_3 = \cdots = a_n =2 .$

Ανισότητα με n μεταβλητές

Ανισότητα με n μεταβλητές

Re: Ανισότητα με n μεταβλητές

Re: Ανισότητα με n μεταβλητές

Μέλη σε σύνδεση