Μη αρνητικό πολυώνυμο!
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Μη αρνητικό πολυώνυμο!
Έστω , πολυώνυμο άρτιου βαθμού, για το οποίο ισχύει
.
Να αποδείξετε ότι για κάθε
.
Να αποδείξετε ότι για κάθε
Μάγκος Θάνος
Λέξεις Κλειδιά:
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Μη αρνητικό πολυώνυμο!
Καλό μήνα!
Έστω ότι όπου με . Δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι οπότε η δοσμένη σχέση γράφεται ισοδύναμα:
Έστω . Έχουμε ότι:
Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz και τη σχέση έχουμε ότι:
οπότε
Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι:
ή ισοδύναμα, θέτοντας , ότι:
Για κάθε ισχύει:
(γιατί είναι ισοδύναμη με την
)
ή ισοδύναμα:
Αθροίζοντας τις ανισότητες αυτές, βρίσκουμε ότι:
Προσθέτοντας στη σχέση αυτή την προφανή ανισότητα
βρίσκουμε ότι:
και η απόδειξη ολοκληρώνεται.
Έστω ότι όπου με . Δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι οπότε η δοσμένη σχέση γράφεται ισοδύναμα:
Έστω . Έχουμε ότι:
Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz και τη σχέση έχουμε ότι:
οπότε
Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι:
ή ισοδύναμα, θέτοντας , ότι:
Για κάθε ισχύει:
(γιατί είναι ισοδύναμη με την
)
ή ισοδύναμα:
Αθροίζοντας τις ανισότητες αυτές, βρίσκουμε ότι:
Προσθέτοντας στη σχέση αυτή την προφανή ανισότητα
βρίσκουμε ότι:
και η απόδειξη ολοκληρώνεται.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Μη αρνητικό πολυώνυμο!
Τώρα που απαντήθηκε μπορώ να αναφέρω την (μία τουλάχιστον) πηγή του θέματος που εγώ γνωρίζω. Πρόκειται για το 3ο θέμα της 3ης (!!!) Προκριματικής φάσης (εκείνη τη χρονιά έγιναν 4 διαγωνισμοί επιλογής ΜΕΤΑ από τον Αρχιμήδη και μπορείτε να βρείτε στο ευρετήριο εδώ τα θέματα που τα είχαμε αναρτήσει και παλαιότερα) για την επιλογή της Εθνικής Ομάδας του σχολικού έτους 1995-1996 και την είχαμε δει και εδώ: viewtopic.php?p=128218#p143280
Νομίζω ότι η λύση μου είναι λίγο διαφορετική από του Βαγγέλη αλλά επειδή έχουν περάσει χρόνια πρέπει να τη φρεσκάρω ξανά!
Αλέξανδρος
Νομίζω ότι η λύση μου είναι λίγο διαφορετική από του Βαγγέλη αλλά επειδή έχουν περάσει χρόνια πρέπει να τη φρεσκάρω ξανά!
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μη αρνητικό πολυώνυμο!
Να σημειώσω τα εξής.
Αν υποθέσουμε ότι τα είναι διαφορετικά τότε
Αν τότε το πολυώνυμο μπορεί να έχει ρίζα το η το .
Αν υποθέσουμε ότι τα είναι διαφορετικά τότε
Αν τότε το πολυώνυμο μπορεί να έχει ρίζα το η το .
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Μη αρνητικό πολυώνυμο!
Το πρόβλημα αυτό είναι του Laurențiu Panaitopol (1940-2008), γνωστού Ρουμάνου μαθηματικού σε σχέση με μαθηματικούς διαγωνισμούς.
Το πρόβλημα αποτέλεσε μάλιστα το 4ο θέμα στο τεστ επιλογής της Ρουμανίας για την Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα του 1987.
Η απόδειξη που έχω είναι σχεδόν ίδια με αυτήν στην παραπομπή του Αλέξανδρου. Απλώς στο τελείωμα που έχουμε να αποδείξουμε ότι
αφού θέσουμε , θεωρούμε το πολυώνυμο
και παρατηρούμε ότι
οπότε εκτελώντας τη διαίρεση
βρίσκουμε
Το πρόβλημα αποτέλεσε μάλιστα το 4ο θέμα στο τεστ επιλογής της Ρουμανίας για την Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα του 1987.
Η απόδειξη που έχω είναι σχεδόν ίδια με αυτήν στην παραπομπή του Αλέξανδρου. Απλώς στο τελείωμα που έχουμε να αποδείξουμε ότι
αφού θέσουμε , θεωρούμε το πολυώνυμο
και παρατηρούμε ότι
οπότε εκτελώντας τη διαίρεση
βρίσκουμε
Μάγκος Θάνος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες