Ακρότατα

#1

: Ακρότατα.png (12.47 KiB) Προβλήθηκε 1495 φορές

Με κορυφή το κέντρο

ενός κύκλου (O, R)

κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο OAB

με κάθετες πλευρές

OA=4, OB=3

(τα σημεία A, B

είναι εσωτερικά του κύκλου). Αν

είναι τυχαίο σημείο του κύκλου, να

βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο της παράστασης $\displaystyle M{A^2} - M{B^2}$ και να διαπιστώσετε ότι το άθροισμά τους είναι

ανεξάρτητο της ακτίνας του κύκλου.

Λάμπρος Κατσάπας · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 03, 2020 5:51 pm
Ακρότατα.png
Με κορυφή το κέντρο ενός κύκλου κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές

(τα σημεία είναι εσωτερικά του κύκλου). Αν είναι τυχαίο σημείο του κύκλου, να

βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο της παράστασης $\displaystyle M{A^2} - M{B^2}$ και να διαπιστώσετε ότι το άθροισμά τους είναι

ανεξάρτητο της ακτίνας του κύκλου.

Για το μέγιστο και το ελάχιστο.

Με αρχή των αξόνων το κέντρο του κύκλου και άξονες τις πλευρές του ορθογωνίου γράφουμε $M(R\cos t,R \sin t),t\in [0,2 \pi).$

Τότε

$MA^2-MB^2=(R\cos t-4)^2+(R \sin t-0)^2-(R\cos t-0)^2-(R \sin t-3)^2$

$=-8R \cos t+6 R \sin t+7=10R \sin(t+\varphi )+7$

για κάποια γωνία $\varphi .$

Επομένως, καθώς το

διατρέχει το $[0,2 \pi)$ το max=10R+7

και το

Το δεύτερο ερώτημα σε ποιο άθροισμα αναφέρεται; Νομίζω η έκφραση ''τυχαίο σημείο'' δεν είναι δόκιμη.

''Τυχόν σημείο'' είναι το σωστό. Την έκφραση ''τυχαίο σημείο'' την έχουμε δεσμεύσει για άλλου τύπου προβλήματα.

#3

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 03, 2020 6:58 pm

Το δεύτερο ερώτημα σε ποιο άθροισμα αναφέρεται;

Στο άθροισμα των ακρότατων (max+min).

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 03, 2020 6:58 pm
Νομίζω η έκφραση ''τυχαίο σημείο'' δεν είναι δόκιμη.

''Τυχόν σημείο'' είναι το σωστό. Την έκφραση ''τυχαίο σημείο'' την έχουμε δεσμεύσει για άλλου τύπου προβλήματα.

Αντιγράφω από το λεξικό του Μπαμπινιώτη: Τυχών-ούσα-όν: τυχαίος (όχι επιλεγμένος), οποιοσδήποτε.

Αν πάρω στην τύχη ένα σημείο πάνω σ' ένα κύκλο, δεν είναι τυχαίο σημείο;

Λάμπρος Κατσάπας · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 03, 2020 7:45 pm

Αντιγράφω από το λεξικό του Μπαμπινιώτη: Τυχών-ούσα-όν: τυχαίος (όχι επιλεγμένος), οποιοσδήποτε.

Αν πάρω στην τύχη ένα σημείο πάνω σ' ένα κύκλο, δεν είναι τυχαίο σημείο;

It depends on the context όπως λένε και οι Εγγλέζοι. Εξαρτάται από το πλαίσιο στο οποίο βρισκόμαστε. Οι Άγγλοι χρησιμοποιούν δύο διαφορετικές ορολογίες για το ''τυχαίο σημείο''. Arbitrary point ή Random point. Στο δεύτερο υποβόσκει η κατανομή από την οποία προέρχεται το σημείο και χρησιμοποιείται σε προβλήματα πιθανοτήτων. Η διάκριση αυτή υπάρχει και στα ελληνικά βιβλία όπως έχω παρατηρήσει με το Arbitrary point να μεταφράζεται ως τυχόν σημείο και το Random point για το τυχαίο σημείο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Αν είναι

τότε $\displaystyle M{A^2} - M{B^2}=-8x+6y+7$
Αν φέρουμε τις εφαπτομένες του κύκλου που είναι παράλληλες στην ευθεία
-8x+6y=0

τα σημεία επαφής είναι αυτά που παίρνει μέγιστο-ελάχιστο.

Αλλος τρόπος.
Εστω

το μέσο της

και

η προβολή του

στον φορέα της

.
Αν θέσουμε AB=a

τότε το δεύτερο θεώρημα των διαμέσων με προσανατολισμό
μας δίνει

$\displaystyle M{A^2} - M{B^2}=2a\overline{KH}$

Θέλουμε μέγιστη και ελάχιστη τιμή του $\overline{KH}$
επιτυγχάνεται όταν φέρουμε εφαπτομένες στον κύκλο
που είναι κάθετες στον φορέα της

Είναι ενδιαφέρον να βρεθεί η μέγιστη και ελάχιστη τιμή του $\displaystyle M{A^2} +M{B^2}$

#6

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 03, 2020 9:43 pm
It depends on the context όπως λένε και οι Εγγλέζοι. Εξαρτάται από το πλαίσιο στο οποίο βρισκόμαστε. Οι Άγγλοι χρησιμοποιούν δύο διαφορετικές ορολογίες για το ''τυχαίο σημείο''. Arbitrary point ή Random point. Στο δεύτερο υποβόσκει η κατανομή από την οποία προέρχεται το σημείο και χρησιμοποιείται σε προβλήματα πιθανοτήτων.

Οι λέξεις Arbitrary και Random είναι δύο διαφορετικές λέξεις με διαφορετική ρίζα. Οι λέξεις όμως "τυχαίος" και "τυχών" είναι έννοιες ταυτόσημες και δεν υπάρχει κανένας διαχωρισμός. Απλώς η πρώτη είναι επίθετο της Νεοελληνικής γλώσσας και η δεύτερη μετοχής της Αρχαίας Ελληνικής.

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 03, 2020 9:43 pm
Η διάκριση αυτή υπάρχει και στα ελληνικά βιβλία όπως έχω παρατηρήσει με το Arbitrary point να μεταφράζεται ως τυχόν σημείο και το Random point για το τυχαίο σημείο.

Εγώ αυτή τη διάκριση δεν την έχω δει πουθενά. Χρησιμοποιούνται εξίσου και τα δύο όταν πρόκειται για γεωμετρικά προβλήματα. Έχω πάμπολλα τέτοια παραδείγματα από διάφορα βιβλία Γεωμετρίας, αλλά θα αρκεστώ στο σχολικό βιβλίο. Ενδεικτικά αναφέρω:

Ευκλείδεια Γεωμετρία Α λυκείου.
Σελίδα 28 Αποδεικτικές ασκήσεις 2) Θεωρούμε κυρτή γωνία $A\widehat OB$ τη διχοτόμο $O\Delta$ και τυχαία ημιευθεία $O\Gamma...$
Σελίδα 37 Γενικές Ασκήσεις 5) Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου

,

το μέσο του τόξου $\overset\frown {AB}$ και

τυχαίο σημείο του τόξου.

Ευκλείδεια Γεωμετρία Β λυκείου.
Σελίδα 19 Ασκήσεις Εμπέδωσης 7) Από τυχαίο σημείο

της διαμέσου...
Σελίδα 23 (Απολλώνιος Κύκλος) Έστω δύο δεδομένα σημεία A, B

και

τυχαίο σημείο του τόπου.

#7

Πάνε πάνω από 9 χρόνια που είχα κάνει παρόμοια παρατήρηση με τον Λάμπρο εδώ.

#8

Δείτε : Κι αυτό

#9

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 03, 2020 11:12 pm
Είναι ενδιαφέρον να βρεθεί η μέγιστη και ελάχιστη τιμή του $\displaystyle M{A^2} +M{B^2}$

: Ακρότατα.β.png (13.67 KiB) Προβλήθηκε 1214 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} M{A^2} = {R^2} + 16 - 8R\cos \theta \\ M{B^2} = {R^2} + 9 - 6R\sin \theta \end{array} \right. \Rightarrow M{A^2} + M{B^2} = 2{R^2} + 25 - 2R(4\cos \theta + 3\sin \theta )$

Θέτω $\boxed{ x = \tan \frac{\theta }{2}}$ και έχω $\displaystyle M{A^2} + M{B^2} = 2{R^2} + 25 - 2R\left( {4\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}} + 3\frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}} \right),$

οπότε $\displaystyle M{A^2} + M{B^2} = f(x) = 2{R^2} + 25 - 4R\left( {\frac{{ - 2{x^2} + 3x + 2}}{{1 + {x^2}}}} \right),$ όπου με τη βοήθεια παραγώγων

βρίσκω μέγιστη τιμή $\boxed{{R^2} + {(R + 5)^2}}$ για $\boxed{x = \frac{1}{3}}$ και ελάχιστη τιμή $\boxed{{R^2} + {(R - 5)^2}}$ για $\boxed{x = -3}$

Με τον ίδιο τρόπο αντιμετωπίζω και το αρχικό πρόβλημα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Εγω πάντως το είδα εφαρμόζοντας δύο φορές το θεώρημα διαμέσου.
Αν είναι

το μέσο του

και

το μέσο του

τότε είναι MA^2+MB^2=4ML^2+c

οπου

παράσταση που δεν εξαρτάτε από το

.
Τα σημεία που παίρνει ελάχιστη-μέγιστη τιμή είναι τα σημεία επαφής των δύο κύκλων
με κέντρο το

που εφάπτονται στον αρχικό.
Φυσικά είναι αντιδιαμετρικά σημεία του αρχικού.

#11

Στο παρακάτω σχήμα όπου $\displaystyle \tan \theta = \frac{3}{4},(\theta \simeq 36,87^\circ ),$ φαίνονται τα συμπεράσματα από τη λύση μου,

αλλά και του Σταύρου. Πιο συγκεκριμένα:

: Ακρότατα.γ.png (27.6 KiB) Προβλήθηκε 1186 φορές

$\displaystyle \bullet$ M_1, M_2

είναι τα σημεία όπου η παράσταση MA^2+MB^2

παίρνει την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή αντίστοιχα.

$\displaystyle \bullet$ M_3, M_4

είναι τα σημεία όπου η παράσταση MA^2-MB^2

παίρνει τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή αντίστοιχα.

Τα σημεία M_1, M_2

είναι αντιδιαμετρικά, όπως και τα M_3, M_4.

#12

Κοιτάχτε τώρα τι μπελά μου βάλατε!

Βικιλεξικό: τυχών < αρχαία ελληνική τυχών, μετοχή παθητικού παρακειμένου του ρήματος τυγχάνω

Liddell and Scott: τυχών, μετοχή αορίστου β του ρήματος τυγχάνω

!!

#13

rek2 έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 07, 2020 12:57 pm
Κοιτάχτε τώρα τι μπελά μου βάλατε!

Βικιλεξικό: τυχών < αρχαία ελληνική τυχών, μετοχή παθητικού παρακειμένου του ρήματος τυγχάνω

Liddell and Scott: τυχών, μετοχή αορίστου β του ρήματος τυγχάνω

!!

Για να σε βγάλω απ' το μπελά. Είναι μετοχή αορίστου β' (κατά το λαμβάνω-έλαβον-λαβών). Αυτά περί "παθητικού

παρακειμένου" δεν νομίζω ότι ευσταθούν. Για παθητικό καπνιστή έχω ακούσει, για παθητικό παρακείμενο, πρώτη φορά!

Ακρότατα

Ακρότατα

Re: Ακρότατα

Re: Ακρότατα

Re: Ακρότατα

Re: Ακρότατα

Re: Ακρότατα

Re: Ακρότατα

Re: Ακρότατα

Re: Ακρότατα

Re: Ακρότατα

Re: Ακρότατα

Re: Ακρότατα

Re: Ακρότατα

Μέλη σε σύνδεση