Άρρητη εξίσωση

KARKAR · #1

Να λυθεί η εξίσωση : $\displaystyle x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}$

#2

Θέτουμε $f(x)=\sqrt[3]{2x-1}$ η οποία είναι αντιστρέψιμη με $2f^{-1}(x)=x^3+1$ . Έτσι η εξίσωση γίνεται

$2f^{-1}(x)=2f(x) \Leftrightarrow f(x)=x$ και η συνέχεια είναι γνωστή!

Αλέξανδρος

#3

Θέτουμε $\displaystyle{f(x)=\sqrt[3]{2x-1}, x\geq \frac{1}{2}.}$

Τότε είναι φανερά $\displaystyle{f^{-1}(x)=\frac{x^3+1}{2}, x\geq 0}$

και η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{f(x)=f^{-1}(x).}$

Επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα, η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle{f(x)=x,x\geq 0\iff x^3-2x+1=0, x\geq 0}$

$\displaystyle{(x-1)(x^2+x-1)=0, x\geq 0\iff x=1\vee x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}.}$

Άρρητη εξίσωση

Άρρητη εξίσωση

Re: Άρρητη εξίσωση

Re: Άρρητη εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση