Μέγιστη τιμή!
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Μέγιστη τιμή!
Μια άσκηση που έφτιαξα :
Έστω ένας θετικός ακέραιος, και που ικανοποιούν τις επόμενες ιδιότητες:
α) , και
β) ο αριθμός των τρόπων που μπορούμε να επιλέξουμε ώστε είναι μεγαλύτερος ή ίσος του .
Να βρείτε, συναρτήσει του , την μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο λόγος: .
Έστω ένας θετικός ακέραιος, και που ικανοποιούν τις επόμενες ιδιότητες:
α) , και
β) ο αριθμός των τρόπων που μπορούμε να επιλέξουμε ώστε είναι μεγαλύτερος ή ίσος του .
Να βρείτε, συναρτήσει του , την μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο λόγος: .
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Δευ Ιουν 29, 2020 4:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μέγιστη τιμή!
Από το (α), για κάθε έχουμε Επομένως είτε , είτε .
Αν λοιπόν , τότε για κάθε έχουμε ή . Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι από τους αριθμούς είναι ίσοι με και οι άλλοι είναι ίσοι με . Η συνθήκη (β) μας λέει ότι . Αναγκαστικά λοιπόν πρέπει . (Μπορεί να δειχθεί ότι αλλά δεν θα το χρησιμοποιήσουμε.)
Έχουμε ότι
αφού από την ανισότητα Cauchy-Schwarz είναι
Η ισότητα λαμβάνεται όταν έχουμε και ισότητα στην Cauchy-Schwarz. Δηλαδή όταν
Αν λοιπόν , τότε για κάθε έχουμε ή . Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι από τους αριθμούς είναι ίσοι με και οι άλλοι είναι ίσοι με . Η συνθήκη (β) μας λέει ότι . Αναγκαστικά λοιπόν πρέπει . (Μπορεί να δειχθεί ότι αλλά δεν θα το χρησιμοποιήσουμε.)
Έχουμε ότι
αφού από την ανισότητα Cauchy-Schwarz είναι
Η ισότητα λαμβάνεται όταν έχουμε και ισότητα στην Cauchy-Schwarz. Δηλαδή όταν
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Μέγιστη τιμή!
Η λύση του κ.Δημήτρη είναι σωστήDemetres έγραψε: ↑Δευ Ιουν 29, 2020 4:05 pmΑπό το (α), για κάθε έχουμε Επομένως είτε , είτε .
Αν λοιπόν , τότε για κάθε έχουμε ή . Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι από τους αριθμούς είναι ίσοι με και οι άλλοι είναι ίσοι με . Η συνθήκη (β) μας λέει ότι . Αναγκαστικά λοιπόν πρέπει . (Μπορεί να δειχθεί ότι αλλά δεν θα το χρησιμοποιήσουμε.)
Έχουμε ότι
αφού από την ανισότητα Cauchy-Schwarz είναι
Η ισότητα λαμβάνεται όταν έχουμε και ισότητα στην Cauchy-Schwarz. Δηλαδή όταν
Από δική μου παράλειψη όμως δεν έβαλα στα αθροίσματα (συγκεκριμένα αυτό του παρονομαστή) την συνθήκη (έτσι στο άθροισμα του παρονομαστή δεν επιτρέπονται όροι όπως ...)
Οπότε ας λυθεί η άσκηση λαμβάνοντας υπόψη την συνθήκη αυτή!
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες