Μεγάλες κατασκευές 46

KARKAR · #1

: Μεγάλες κατασκευές 46.png (8.65 KiB) Προβλήθηκε 643 φορές

Επί ευθείας θεωρούμε διαδοχικά σημεία A , B , C , D

, τέτοια ώστε : AB=4 , BC=2 , CD=3

.

Εντοπίστε ( με κανόνα και διαβήτη ) σημείο

, εκτός της ευθείας , ώστε : $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSD}$ .

Manolis Petrakis · #2

Καλησπέρα στο

και ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ

: 20201230_231756.jpg (45.69 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές

Προεκτείνουμε την

προς το

κατά τμήμα AE=6

και προς το

κατα τμήμα DF=3

τότε:

: αρμονική τετράδα $\Leftrightarrow SE, SB,SC,SD$ αρμονική δέσμη ευθειών
Αφού SC:

διχοτόμος $\angle BSD$ είναι $SE \perp SC$
$\Rightarrow S\in$ Κύκλο με διάμετρο

Ακόμη

: αρμονική τετράδα $\Leftrightarrow SA,SB,SC,SF$ αρμονική δέσμη ευθειών.
Αφού SB:

διχοτόμος $\angle ASC$ είναι $SF \perp SB$
$\Rightarrow S\in$ Κύκλο με διάμετρο

Έτσι τα

είναι τα

σημεία τομής των κύκλων με διαμέτρους τα CE,BF

#3

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά .

: Μεγάλες κατασκευές 46_ok.png (24.62 KiB) Προβλήθηκε 606 φορές

Ο Απολλώνιος κύκλος του

με λόγο

είναι ο κύκλος $\left( {A,AC} \right)$ .

Ο Απολλώνιος κύκλος του

με λόγο $\dfrac{2}{3}$ είναι ο κύκλος $\left( {L,LB} \right)$ και τέμνονται στο

.

KARKAR · #4

... Αν κάθε μια από τις ίσες γωνίες ισούται με $\theta$ , υπολογίστε την : $\tan\theta$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 31, 2020 7:07 am
... Αν κάθε μια από τις ίσες γωνίες ισούται με $\theta$ , υπολογίστε την : $\tan\theta$

: Μεγάλες κατασκευές.46.png (11.66 KiB) Προβλήθηκε 591 φορές

$\displaystyle \tan \theta = \sqrt {\frac{3}{5}}$

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.

nickchalkida · #6

Μπορεί να αποδειχθεί, ότι ο Απολλώνιος κύκλος που αντιστοιχεί σε ευθύγραμμο τμήμα

,
που έχει ληφθεί στον άξονα

και το διαιρεί σε λόγο $\lamda$ , έχει κέντρο και ακτίνα που δίνονται από τις σχέσεις
https://undergroundmathematics.org/geom ... solution-2

$\displaystyle{ \biggl( {AB \cdot \lambda^2 \over \lambda^2 -1}, 0 \biggr) \ \ \ R= {AB \cdot \lambda \over | \lambda^2 -1 | } }$

Δοθέντων αυτών, και θεωρώντας σύστημα συντεταγμένων με αρχή το

, λαμβάνω

,

και

.
Η εξίσωση τώρα του πράσινου και του καφέ κύκλου είναι αντίστοιχα

$\displaystyle{ \begin{aligned} & (x-8)^2 + y^2 = 16 \cr & x^2 + y^2 = 36 \cr \end{aligned} }$

Επιλύοντας το σύστημα, βρίσκω ότι το

έχει συντεταγμένες $\biggl( {21\over 4}, {3\over 4}\sqrt{15}\biggr)$ .
Άρα θα είναι BP=1.25

και

. Εύκολα τώρα βρίσκω

$\displaystyle{ \begin{aligned} & \tan \theta_1 = {BP \over NP } = {\sqrt{15} \over 9 } \cr & \tan \theta_2 = {PC \over NP } = {\sqrt{15} \over 15 } \cr & \tan \theta = { \tan \theta_1 + \tan \theta_2 \over 1 - \tan \theta_1 \tan \theta_2 } = {\sqrt{15} \over 5 } \cr \end{aligned} }$

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 30, 2020 9:40 pm
Μεγάλες κατασκευές 46.pngΕπί ευθείας θεωρούμε διαδοχικά σημεία , τέτοια ώστε : .

Εντοπίστε ( με κανόνα και διαβήτη ) σημείο , εκτός της ευθείας , ώστε : $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSD}$ .

Από θεώρημα διχοτόμων είναι $\displaystyle \frac{{AS}}{{SC}} = 2,\frac{{SB}}{{SD}} = \frac{2}{3}.$ Θέτω SC=a, SB=2b,

οπότε

: Μεγάλες κατασκευές.46ΙΙ.png (11.04 KiB) Προβλήθηκε 543 φορές

Εφαρμόζοντας το θεώρημα $\displaystyle {\rm{Stewart}}$ στα τρίγωνα SAC, SBD

έχω: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {a^2} = 2{b^2} + 4\\ {a^2} = 6{b^2} - 6 \end{array} \right. \Rightarrow$ $\boxed{a=3}$

Άρα SC=3, SA=6,

δηλαδή το

προσδιορίζεται ως το σημείο τομής των κύκλων (C, 3)

και

: Μεγάλες κατασκευές.46β.png (15.89 KiB) Προβλήθηκε 542 φορές

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 31, 2020 7:07 am
... Αν κάθε μια από τις ίσες γωνίες ισούται με $\theta$ , υπολογίστε την : $\tan\theta$

Με ν. συνημιτόνου στο SAC

βρίσκω $\displaystyle \cos 2\theta = \frac{1}{4} \Rightarrow {\cos ^2}\theta = \frac{5}{8}$ και $\displaystyle {\tan ^2}\theta = \frac{{1 - {{\cos }^2}\theta }}{{{{\cos }^2}\theta }} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow$ $\boxed{ \tan \theta = \sqrt {\frac{3}{5}}}$

Μεγάλες κατασκευές 46

Μεγάλες κατασκευές 46

Re: Μεγάλες κατασκευές 46

Re: Μεγάλες κατασκευές 46

Re: Μεγάλες κατασκευές 46

Re: Μεγάλες κατασκευές 46

Re: Μεγάλες κατασκευές 46

Re: Μεγάλες κατασκευές 46

Μέλη σε σύνδεση