Συνάρτηση

2nisic · #1

Να βρεθεί η συνάρτηση $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ για την οποία ισχύει:

$f(x)f(y) = f(y)f(xf(y)) +\frac{1}{xy}$

Λάμπρος Μπαλός · #2

$f(x)f(y)=f(y)f(yf(x))+\frac{1}{xy}$ (1)

Η (1) με εναλλαγή των x,y

: $f(x)f(y)=f(x)f(yf(x))+\frac{1}{xy}$ (2)

(1),(2) $\Rightarrow f(x)f(yf(x))=f(y)f(xf(y))$ (3)

Έστω ότι f(1)=k

Η (3) για

:

(4)
H (1) για x=1

: $kf(y)=f(y)f(f(y))+\frac{1}{y}$ (5)

(4),(5) $\Rightarrow kf(y)=kf(kf(y))+\frac{1}{y}$ (6)

Η (6) για $y=\frac{1}{k}$ : $kf(\frac{1}{k})=k^{2}+k \Leftrightarrow f(\frac{1}{k})=k+1$

Η (1) για $y=\frac{1}{k}$ και x=1

:
$k(k+1)=(k+1)f(k+1)+k \Leftrightarrow f(k+1)=\frac{k^{2}}{k+1}$

Η (1) για $y=\frac{1}{k}$ και $x=\frac{1}{k+1}$ :
$(k+1)f(\frac{1}{k+1})=(k+1)k+k(k+1) \Leftrightarrow f(\frac{1}{k+1})=2k$

Η (1) για $y=\frac{1}{k+1}$ και $x=\frac{1}{k}$ : $2k(k+1)=2kf(2)+k(k+1) \Leftrightarrow f(2)=\frac{k+1}{2}$

Η (1) για x=y=2

: $f^{2}(2)=f(2)f(k+1)+\frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{k^{2}+2k+1}{4}=\frac{k+1}{2} \cdot \frac{k^{2}}{k+1}+\frac{1}{4} \Leftrightarrow k=2$

Επομένως, $f(1)=2, f(\frac{1}{2})=3, f(3)=\frac{4}{3}, f(\frac{1}{3})=4, f(2)=\frac{3}{2}$
Ενδεχομένως, κάποια να μη χρειάζονται.

Η (1) για $x=\frac{1}{f(y)}$ : $f(\frac{1}{f(y)})=f(1)+\frac{1}{y} \Leftrightarrow f(\frac{1}{f(y)})= 2+ \frac{1}{y}$
Η (1) για $x=\frac{2}{f(y)}$ : $f(\frac{2}{f(y)})=f(2)+\frac{1}{2y} \Leftrightarrow f(\frac{2}{f(y)})= \frac{3}{2}+ \frac{1}{2y}$

Από τις (4),(5) και εφόσον k=2

, εύκολα προκύπτει ότι : $2f(2x)=2f(x)-\frac{1}{x}$ , η οποία για $x=\frac{1}{f(y)}$ δίνει

$2f(\frac{2}{f(y)})=2f(\frac{1}{f(y)})-f(y) \Leftrightarrow 2(\frac{3}{2}+\frac{1}{2y})=2(2+\frac{1}{y})-f(y) \Legtrightarrow$

$\Leftrightarrow f(y)=1+\frac{1}{y}$ , η οποία επαληθεύει.

2nisic · #3

2nisic έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 09, 2021 8:36 pm
Να βρεθεί η συνάρτηση $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ για την οποία ισχύει:

$f(x)f(y) = f(y)f(xf(y)) +\frac{1}{xy}$

Έστω

: $f(xf(y))=f(x)-\frac{1}{xyf(y)}$

P(1,y)

: $f(f(y))=f(1)-\frac{1}{yf(y)}$ (1)

P(f(x),y)

: $f(f(x)f(y))=f(f(x))-\frac{1}{f(x)yf(y)}=f(1)-\frac{1}{xf(x)}-\frac{1}{f(x)yf(y)}$

Με αντίστροφη των x,y

στην τελευταία έχουμε:
$f(1)-\frac{1}{xf(x)}-\frac{1}{f(x)yf(y)}=f(1)-\frac{1}{yf(y)}-\frac{1}{f(x)f(y)x}\Leftrightarrow xf(x)-x=yf(y)-y$

Οπότε $xf(x)-x=c\Rightarrow f(x)=1+\frac{c}{x}$ (2)

Για x=1

στην τελευταία έχουμε: c=f(1)-1

.
Για

στην τελευταία έχουμε: $f(f(x))=1+\frac{f(1)-1}{f(y)}$ (3)

Από (1),(2),(3) έχουμε f(1)=2

και αρα $f(x)=1+\frac{1}{x}$

Λάμπρος Μπαλός · #4

Ωραία λύση. Πολύ απλούστερη απ'τη δική μου.

Συνάρτηση

Συνάρτηση

Re: Συνάρτηση

Re: Συνάρτηση

Re: Συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση