για κάθε να ισχύουν
Συναρτησιακή με πολυώνυμα
Συντονιστές: achilleas, emouroukos, silouan
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Συναρτησιακή με πολυώνυμα
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις που είναι τέτοια ώστε
για κάθε να ισχύουν
για κάθε να ισχύουν
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Συναρτησιακή με πολυώνυμα
Παρατηρώ ότι η είναι λύση, οπότε στο εξής θεωρώ ότι η δεν είναι η μηδενική.ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Σάβ Σεπ 24, 2022 4:59 pmΝα βρεθούν όλες οι συναρτήσεις που είναι τέτοια ώστε
για κάθε να ισχύουν
το σύνολο των πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές.
Για , στην : .
Για , όπου τυχών ρητός στην : , δηλαδή τα σταθερά πολυώνυμα απεικονίζονται μέσω της στο μηδενικό πολυώνυμο.
Για , είναι οπότε στην : .
Αλλά από την υπόθεσή μας με . Βάζοντας αυτό στην πάνω παίρνω .
Κάνοντας χρήση της , βάζω (σταθερό) στην : .
Ισχυρισμός: .
Απόδειξη
Για , έχω το .
Αν τώρα για κάποιο έχω , τότε:
.
Από επαγωγή έχω το ζητούμενο .
Άρα, γενικά από έχω: .
Έστω τώρα . Βάζω στη . Τότε:
.
Άρα, το μη-μηδενικό σταθερό για κάθε . Μπορώ λοιπόν να ορίσω με τύπο:
.
Στην για παίρνω:
.
Η παραπάνω είναι γνωστή τύπου Cauchy και εύκολα προκύπτει ότι ,όπου .
Πρέπει όμως και (γιατί;).
Δείξαμε λοιπόν ότι . Στην βάζοντας :
.
Ισχυρισμός: Για κάθε ισχύει .
Απόδειξη
Με ισχυρή επαγωγή στον βαθμό του .
Αν , τότε
Έστω ότι μέχρι για κάποιο ο ισχυρισμός είναι αληθής.
Έστω πολυώνυμο βαθμού : . Τότε:
.
Έχουμε λοιπόν προσδιορίσει την για κάθε πολυώνυμο .
Εύκολα ελέγχουμε ότι η που βρήκαμε ικανοποιεί τις (γνωστές ιδιότητες της παραγώγου), οπότε
μαζί με τη μηδενική είναι οι μόνες λύσεις.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες